Втреугольнике авс высота сd делит угол с на два угла, причем угол асd=25°, угол bcd=40°. высоты данного треугольника пересекаются в точке о. найдите угол вос.

CD ┴ AB ; <ACD =25° ;<BCD =40° .
BH  ┴ AC ;O =CD ⋂ BH.

<BOC _?

Пусть вторая высота BH ,H∈[ AC ] .
Из прямоугольного  (<BHC =90°) треугольника BHC  <HBC =90° -<HCB =
90° -(<HCO +<BCO)  * * * 90° -( =<ACD +<BCD) * * * 
=90° -(25° +40°) =90° -65°=25°.

Из треугольника BOC :<BOC =180° -(<BCO +<OBC)  
* * *=180°-(<BCD+<OBC) * * * =180°-(40°+25°) =180°-65°=115°.
* * * * *                  * * * * * 
<BOC  = <OHC +<HCO (как внешний угол треугольника OHC).
или иначе
<BOC  = <BHC +<ACD =90° +25° =115° .

Нужно рассматривать еще вариант  <A > 90°.

В данном нам равнобедренном треугольнике abc, высоты (они же биссектрисы и медианы), проведенные из равных углов (при основании) РАВНЫ. Проведем эти высоты AL и CK. Расстояния от точки d на основании АС - это отрезки dm и dn, параллельные высотам CK и AL соответственно. Прямоугольные треугольники АКС и ALC равны, так как АС - общая гипотенуза, катеты КС и AL - равны и равны углы LAC и КСА (так как AL и КС биссектрисы). Итак, в этих равных треугольниках линии dm и dn образуют подобные треугольники Adm и AKC, Cdn и CAL. Из их подобия имеем следующие отношения:

1)КС/dm=AC/Ad; 2)KC/dm=AC/dC. dm = 12-dn (дано) а  Ad = АС-dC. Подставляем и имеем:

из 1): KC/12-dn = AC/AC-dC отсюда KC*(AC-dC) = AC*(12-dn) далее KC*AC - KC*dC = 12AC - AC*dn. Из 2): КС*dС = AC*dn. Из второго вставляем в первое и получаем:

КС*АС - АС*dn = 12АС - АС*dn или КС*АС = 12АС. И окончательно КС = 12, что и надо было найти.

 

Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC=5.
угол между ребром и плоскостью основания пирамиды равен 30 градусов.
Найдите длину стороны основания АВ пирамиды

Начнем с рисунка, хотя можно и без него обойтись, если помнить, как выглядит такая пирамида.
Основание правильной треугольной пирамиды - равносторонний треугольник АВС.
Все его стороны равны, все его углы равны 60°.
Сторона такого треугольника, выраженная через высоту АН, равна
АС=АВ=АН:cos(60°)
Нужно  для нахождения АС найти АН
Рассмотрим рисунок. Высота SO пирамиды с частью АО высоты основания и ребром составляет прямоугольный треугольник, в котором катет SO противолежит углу 30°,⇒
АО=SO:tg30°
tg (30°) = (√3)/3 = 1/√3
АО=5:1/√3=5√3
Основание О высоты SO правильной треугольной пирамиды лежит в точке пересечения медиан ( высот, биссектрис правильного треугольника) и находится, как точка пересечения медиан всех треугольников,  на расстоянии 2/3 от вершины угла.
Следовательно, 2/3 высоты треугольника в основании равно 5√3
Вся высота основания равна
АН=( 5√3):2)·3=7,5√3
АВ=АС=АН:cos(60)=(7,5√3)·2:√3=15