Ирисунком, и с решением. боковая сторона равнобедренного треугольника = 4, угол при основании - 45 градусов. найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Пусть <A =<C =45° ; AB =CB =4 .

R -?
<A =<C =45°⇒ <B =180° - (<A +<C) = 180° - (45° +45°) = 180° - 90° =90°.
⇒ гипотенуза AC =√(AB² +CB²) =√(4² +4²)= √(2*4²) =4√2.
R = AB/2 =(4√2)/2 =2√2.

ответ:  2√2.

ΔABC,AB=BC=4,<A=<C=45
<B=180-(<A+<C)=180-2*45=90⇒ΔABC прямоугольный⇒АС=2R⇒
R=AC/2
R=√(AB²+BC²)/2=√(16+16)/2=√32/2=4√2/2=2√2

Sтреугольника = 0.5 * CD * DE * sin(60°) 
Sтреугольника = 0.5 * 6 * DE * √3/2 = 3√3/2 * DE 
по т.косинусов: (2√7)² = 6² + DE² - 2*6*DE*cos(60°) 
28 = 36 + DE² - 6*DE 
DE² - 6*DE + 8 = 0
по т.Виета DE = 2 или DE = 4 
самая большая сторона треугольника =6: 2√7 = √28 < √36 = 6 
следовательно, угол CED -тупой, cos(CED) < 0 
если DE=2:
по т.синусов: 36 = 28 + 4 - 2*2√7*2*cos(CED)
4 = -8√7*cos(CED) ---> cos(CED) = -1/(2√7) < 0 
если DE=4:
по т.синусов: 36 = 28 + 16 - 2*2√7*4*cos(CED)
-8 = -16√7*cos(CED) ---> cos(CED) = +1/(2√7) > 0 (противоречит условию) ---> DE=2 
Sтреугольника = 3√3

Удивительно, но эта такая сложная по формулировке задача решается в одно действие.
Угол между высотами, выходящими (например, тут полный произвол в обозначениях) из вершин углов A и B; равен 180 - С;
Это можно просто сосчитать, как 180 - (90 - A) - (90 - B) = A + B = 180 - C;
а можно просто заметить, что четырехугольник, образованный сторонами угла С и высотами (ну кусочками), выходящими из углов A и B, очевидно является вписанным (да даже еще проще - в нем два угла прямых).
а можно просто заметить, что у угла С и угла между высотами СТОРОНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. :)
Поэтому в обоих треугольниках напротив общей их стороны AB лежат углы, синусы которых равны.
Поэтому (по теореме синусов) равны радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников.