Впрямоугольный треугольник с углом в 30 вписан круг радиуса 1 см. найти площадь этого треугольника.

Δ АВС, ∠С = 90°, ∠В = 30°, °А = 60°, О - центр вписанной окружности. SΔАВС - ?
SΔABC = 1/2· АС·ВС
Решение.
Опустим перпендикуляр из точки О на АС. Пусть это будет ОК. ΔОКА- прямоугольный, ОК = 1 см, ∠ОАК = 30° ⇒ОА= 2см.
По т. Пифагора АК² = 4 - 1 = 3 ⇒ АК = √3, СК = 1, АС = 1 +√3
АВ = 2(1 + √3). По т . Пифагора ВС² = 4(1 + √3)² - (1 + √3)²= 3(1 + √3)²⇒
,ВС = (1 + √3)·√3
SΔABC = 1/2 ·(1 + √3)·(1 + √3)·√3= √3/2·(1 + 2√3 + 3) = 
= √3/2·(4 + √3) = 2√3 + 1, 5

△KCD= SABCD/4
SABCD= (AD+BC)*h/2
AD=2BC
SABCD= 3BC*h/2
△KCD= 3BC*h/8
△KCD= KD*h/2
3BC*h/8 = KD*h/2 <=> KD= 3BC/4
BC= 2
KD= 1,5
AK= 4-1,5 = 2,5
-----
СM - медиана △AСD: AM= 1/2AD =BC
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
СМ=AB
Медиана по трем сторонам: Mc= √(2a^2 + 2b^2 - c^2)/2
CM= √(2AC^2 + 2CD^2 - AD^2)/2
√7= √(2AC^2 + 2CD^2 - 4^2)/2 <=> 7= (AC^2 + CD^2)/2 - 4 <=> AC^2 + CD^2 =22
AD^2= AC^2 + CD^2 -2AC*CD*cos(ACD)
16= AC^2 + CD^2 - AC*CD
16= 22 - AC*CD <=> AC*CD =6 <=> AC= 6/CD
(6/CD)^2 +CD^2 =22 <=> (36 +CD^4 -22CD^2)/CD^2 <=> CD^4 -22CD^2 +36 =0
CD^2= 11+-√85
--
C₁D= 4,4966
C₂D= 1,3343
--
AC₁= 1,3343
AC₂= 4,4966
-----
△AC₁D=△AC₂D (по трем сторонам)
∠C₁DA=∠DAC₂=α
∠AC₁D=∠AC₂D=60
--
sin(60)/4 = sin(α)/AC₁
sin(α) = 0,2165*1,3343 = 0,2889
cos(α)= √[1-0,2889^2] = 0,9573
--
1) △C₁DK: C₁D= 4,4966; KD= 1,5
C₁K^2= C₁D^2 + KD^2 - 2*C₁D*KD*cos(α)
CK^2= 20,2194 + 2,25 - 8,6091*1,5 = 9,5556
C₁K= 3,0912
--
2) △AC₂K: AC₂= 4,4966; AK= 2,5
C₂K^2= AC₂^2 + AK^2 - 2*AC₂*AK*cos(α)
CK^2= 20,2194 + 6,25 - 8,6091*2,5 = 4,9466
C₂K= 2,2241

Нехай прямі АВ та СМ перетинаються в т.О.
Кут АОС=ВОМ, бо вони вертикальні, а вертикальні кути рівні між собою.
Кут АОМ=СОВ, бо вони вертикальні, а вертикальні кути рівні між собою.
Нехай ∠СОВ+∠ВОМ+∠АОМ=286°.
Суміжними називаються два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженням одна одної. 
Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
∠СОВ+∠ВОМ=180°, бо вони суміжні.
∠АОМ+∠АОС=180°, бо вони суміжні.
Виходить, що сума всіх кутів, що утворилися в результаті перетину прямих дорівнює 360°:
∠СОВ+∠ВОМ+∠АОМ+∠АОС=180°+180°
∠СОВ+∠ВОМ+∠АОМ+∠АОС=360°
Оскільки ∠СОВ+∠ВОМ+∠АОМ=286°, виходить
286°+∠АОС = 360°
∠АОС=360-286
∠АОС=74°.
Виходить, що ∠АОС=∠ВОМ=74°.

Тепер оскільки ∠СОВ+∠ВОМ=180°, то
∠СОВ+74°=180°
∠СОВ=180°-74°
∠СОВ=106°.
Виходить, що ∠СОВ=∠АОМ=106°.

Відповідь: два кути по 74° та два кути по 106°.