Луч аd – биссектриса угла а. на сторонах угла а отмечены точки в и с так, что . докажите, что ав = ас.

аd - общая (по условию)угол adc = углу adв (по условию)угол   dас = углу dав (т.к. биссектриса делит угол на два равных угла)треуг.   dав = треуг.   dас (по одной стороне и двум прилежащим к ней углам)ав = ас (в равных треуг. против равных углов лежат равные стороны)

Уменя тут есть где то красивый рисунок, по которому сразу видно, почему точка g лежит на ho и делит его в пропорции og/gh = 1/2; (теорема эйлера). если есть треугольник abc, и точка a1 - "противоположная" a точка на описанной окружности (то есть aa1 - диаметр описанной окружности), то a1bhc - параллелограмм, поскольку a1c ii bh - обе прямые перпендикулярны ac; то же для a1b ii ch; поэтому, если м - середина bc, то am является медианой не только тр-ка abc, но и треугольника aa1h; другой медианой этого треугольника является ho; этим всё доказано. к этой это имеет косвенное отношение, скорее - это "теория". все, что надо - это что og/gh = 1/2; дан треугольник iho; ih = p; io = d; ho = q; надо найти x = ig; где hg = 2q/3; дальше одна теорема косинусов. t = cos(∠iho) d^2 = p^2 + q^2 - 2pqt; x^2 = p^2 + (2q/3)^2 - 2p*(2q/3)t = p^2 + 4q^2/9 + 2/3(d^2 - p^2 - q^2) = p^2/3 + 2d^2/3 - 2q^2/9; собственно это ответ, если я нигде не напутал с цифрами.

Ga + gb + gc = 0; (1) если g - точка пересечения медиан. на самом деле это соотношение можно вообще считать определением, но и в обычном школьном определении это тривиально показать, так как ga + gb = 2* gm = - gc; где m - середина ab тогда 3* pg = pa + pb + pc; (2) для любой точки p - это сразу видно, если подставить pa = pg + ga; pb = pg + ga; pc = pg + gc; из (1) после возведения в квадрат 0 = ga^2 + gb^2 + gc^2 + 2( ga* gb + ga* gb + gb* gc); (3) а из (2) 9*pg^2 = pa^2 + pb^2 + pc^2 + 2( pa* pb + pa* pc + pb* pc) = pa^2 + pb^2 + pc^2 + 2(( pg + ga)*( pg + gb) + ( pg + ga)*( pg + gc) + ( pg + gb)*( pg + gc)) = pa^2 + pb^2 + pc^2 + 6*pg^2 + 4* pg*( ga + gb + gc) + 2( ga* gb + ga* gc + gb* gc); если учесть (1) и (3), получается 3*pg^2 = pa^2 + pb^2 + pc^2 - (ga^2 + gb^2 + gc^2) везде жирным шрифтом обозначены вектора, а pa* pb означает в этих случаях скалярное произведение. чтд