1.начертите куб abcda1b1c1d1 и выберите две произвольные точки м и к внутри грани abcd. постройте: а) прямую пересечения плоскости а1мк и плоскости грани abcd куба; б) точки пересечения плоскости а1мк с прямыми, содержащими ребра ad, вс и dd1 куба; в) отрезки прямых, по которым плоскость а1мк пересекает грани авв1а1, add1a1 и a1b1c1d1 куба.

Всё подробно написала в решении.

 Сторону основания этой пирамиды найдем из ее объема. 
Объем пирамиды находят по формуле  
V=Sh:3 
Площадь основания данной пирамиды - площадь правильного  шестиугольника- состоит из суммы площадей шести правильных  треугольников.  
Пусть сторона каждого из них равна а. 
Площадь правильного шестиугольника  
S = pr = 3a²√3/2,  где p − полупериметр шестиугольникa, a r- радиус вписанной в  него окружности, или, иначе - апофема правильного  шестиугольника (т.е. высота  одного из правильных  треугольников, составляющих этот шестиугольник). 
Так как боковая грань  и основание пирамиды образуют угол  45°, высота пирамиды равна апофеме шестиугольника в  основании пирамиды.  
Напомню, что апофемой правильного шестиугольника называют  перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне.  (В задачах редко встречается, но такое название есть). 
Высота пирамиды и апофема основаниия здесь - катеты  равнобедренного прямоугольного треугольника 
m = h= a√3/2  
Следовательно,   
V={3a²√3):2}·{a√3):2}:3=9a³:12=3a³:4 
162=3a³:4 
 а³=162·4:3=216 
а= ∛216=6 

АВСД - ромб. Через вершину А проведена прямая а параллельна диагонали ВД.
Для доказательства используем одно из свойств ромба: его диагонали пересекаются под прямым углом. (Здесь даже не важно под каким углом они пересекаются).
Поскольку прямая а и ВД параллельны, а СД пересекает одну из параллельных прямых, то она обязательно пересечет и вторую прямую, т.е. прямую а.
Есть теорема: 
Пусть три прямые лежат в некоторой плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.
Что и требовалось для доказательства.