Треугольник cde-прямоугольный, угол d = 90градусам; dk-высота.найдите катет cd, если угол e=30градусам, kd=8 корней из 3.

Рассмотрим треуг ДКЕ. ДК лежит против угла 30гр, значит она =1/2*ДЕ,
отсюда ДЕ=2ДК=2*8√3=16√3. Треуг. СДЕ подобен треуг ДКЕ составим отношение
ДЕ/СЕ=КЕ/ДЕ отсюда СЕ=(ДЕ*ДЕ)/КЕ. Найдем КЕ
КЕ^2=ДЕ^2 - ДК^2=(16√3)^2 - (8√3)^2=768-192=576 
КЕ=24 Теперь находим СЕ=(16√3 * 16√3) / 24=32
т.к. сторона СД в прямоуг.треуг-ке лежит против угла 30гр
она =1/2СЕ=1/2*32=16

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит вершина прямоугольника, а его стороны параллельны диагоналям квадрата. Найти стороны прямоугольника, если одна из них на 6 см больше другой, а диагональ квадрата равна 30 см 

Сделаем рисунок.
Треугольники ВМК, АКТ, МСН и НDT - равнобедренные прямоугольные.
ОА=АС:2=15 см
Пусть ВК=х
Тогда АК=АВ-х
По известному свойству гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника   
АВ=15√2
АК=15√2 -х 
КМ=х√2
КТ=(15√2 -х )*√2=30-х√2
По условию КТ-КМ=6 см
30-х√2 -х√2=6
24=2х√2
х=24:2√2=12:√2
Умножим числитель и знаменатель на √2, чтобы избавиться от дроби:
х=12:√2=(12*√2):√2*√2х=6√2
КМ=6√2*√2=12 см
КТ=30-х√2=30-12=18 см
КТ-КМ=18-12=6 см

ответ: 21 (ед. длины)

Объяснение: Поскольку стороны вписанного прямоугольника параллельны диагоналям квадрата,  диагональ ВD квадрата   делит периметр прямоугольника на две равные половины ТКМЕ и ТРНЕ. Как известно, диагонали квадрата делят его углы пополам.  При этом угловые треугольники МВН и КDР – равные прямоугольные  равнобедренные, в которых ВЕ=ЕМ=ЕН и TD=ТК=РТ.  Заметим, что МК+МЕ+ТК=DВ=10,5 - это длина половины периметра прямоугольника. Полный периметр прямоугольника КМНР=2•10,5=21 ( ед. длины)