Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, РВСМ=РМDР - накрестлежащие, РВМС=РDМР - вертикальные) , поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР:

КМ = 1/2АР=1/2(АD+DF)=1/2(AD+BC)

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Сделаем и рассмотрим рисунок. 
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.⇒
 АА₁ =3√ 3
АО=2√ 3
ОА₁ =√ 3
Треугольник СОВ по условию прямоугольный, 
АА₁ - медиана ΔАВС,  
СА₁ =ВА₁  ⇒
ОА₁ - медиана прямоугольного треугольника СОВ
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла к гипотенузе,  равна ее половине
Следовательно, СА₁ =ВА₁ =ОА₁ =√ 3
и
СВ=2√ 3
В₁ - середина АС
С₁ - середина АВ
В₁ С₁ - средняя линия треугольника АВС
Отсюда  его медиана АА₁  делится этой средней линией пополам. 
АМ=АА₁ :2=1,5√ 3
В треугольнике АСА₁  отрезок В₁М является средней линией и равен половине СА₁
 В₁М=0,5√ 3
Из прямоугольного  ⊿ АМВ₁  найдем АВ₁  по т. Пифагора:
АВ₁²=АМ² -В₁М²АВ₁ =√(6,75- 0,75)=√6Точка В₁  - середина АС.СВ1=АВ1=√6
Из прямоугольного треугольника ВСВ₁  по т. Пифагора найдем ВВ₁ 
ВВ₁ =√(СВ²+СВ₁²)=√(12+6)=√18=3√2
Найдем гипотенузу АВ по т. Пифагора
АС=2 АВ₁ =2√6
АВ=√(АС²+ ВС²)=√{ (2√ 6)² +(2√3 )²}=√36=6
вторая медиана СС1  равна половине гипотенузы Δ АВС
СС₁ =3, и это меньше, чем  3√2
Следовательно, ВВ₁  - большая из данных медиан  и равна 3√2 
---
[email protected]

Произведение векторов - это их скалярное произведение.
Скалярное произведение: (a,b)=x1*x2+y1*y2.
Скалярное произведение можно записать еще как: a•b=|a|•|b|*cosα
Модуль (длина) вектора АВ ( гипотенуза) =4, так как катет АС лежит против угла 30°. <А=60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). EF - средняя линия треугольника EF=2 и она перпендикулярна катету ВС (так как параллельна катету АС).
Модуль вектора ВС по Пифагору равен √(16-4)=2√3.
В нашем случае:
1) Вектора (ВА*ВС)=|BA|*|BC|*CosB = 4*2√3*(√3/2)=12.
2) Вектора (ВА*АС)=|BA|*|АC|*CosА = 4*2*(1/2)=4.
3) Вектора (ЕF*ВС)=|EF|*|ВC|*Cos90° = 0.

Второй вариант:
(a,b)=x1*x2+y1*y2.
Привяжем начало координат к точке С.
Тогда имеем точки С(0;0), А(0;2), В(2√3;0), Е(√3;1) и F(√3;0).
Координаты векторов:
ВА{-2√3;2}, BC{-2√3;0}, AC{0;-2}, EF{0;-1}.
Тогда
1) (ВА*ВС)=12+0=12.
2) (ВА*АС)=0+4=4.
3) (ЕF*ВС)=0+)=0.

P.S.Найдем косинус угла между векторами EF и ВС по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)] или
cosα=(0*(-2√3)+(-1)*0)/(√(0+1)*√(12+0)) =0/2√3=0.
Значит угол между этими векторами 90°.