Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу 16. найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

пусть проекция первого катета на гипотенузу равна х, тогда гипотенуза равна х+16.

квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию на гипотенузы.

х(х+16)=15^2

x^2+16x-225=0

d=256+900=1156

x1=(-16-34)/2< 0 - не подходит, длина отрезка не может быть отрицательным числом

х2=(-16+34)/2=9

 

гипотенуза равна 9+16=25

второй катет равен корень(25*16)=5*4=20

 

радиус окружности, вписанной в прямоугольной треугольник равен

к=(a+b-c)/2.

a=15,b=20, c=25

r=(15+20-25)/2=5

ответ: 5

трапеция нарисована на чертеже. большое основание относится к боковой стороне, как 8: 6 - свойство биссектрисы. далее, треугольники, образованные основаниями и кусками диагоналей, с общей вершиной в точке их (диагоналей) пересечения, подобны. поэтому большое основание относится к малому тоже как 8: 6. 

пусть х - некая мера длинны, так что большое основание 8*х, малое 6*х, боковая сторона 6*х. тогда

12^2 + (8*x - 6*x)^2 = (6*x)^2; (построили треугольник, проведя прямую, параллельную боковой стороне через другую вершину)

отсюда х = (3/2)*корень(2); средняя линяя равна 7*х = (21/2)*корень(2), 

а площадь = 12*(21/2)*корень(2) = 126*корень(2)

 

диагональ параллелепипеда проектируется на диагональ квадрата в основании, равную 2 (раз сторона корень из 2).

вместе с высотой параллелепипеда эти диагонали образуют прямоугольный треугольник.

поэтому d^2 - h^2 = 2^2; d - диагональ  параллелепипеда, н - высота (боковая сторона параллелепипеда)

диагональ параллелепипеда проектируется на диагональ db любой боковой грани, у этой боковой грани одна сторона н, другая корень(2); то есть она равна

db = корень(h^2 + 2);

задан угол между боковой гранью и диагональю d, то есть угол между d и db, то есть 

db/d = cos(30) = корень(3)/2; db^2 = d^2*3/4; (h^2 + 2) = 3/4*(4 + h^2);

трудное уравнение : ) н^2 = 4; h = 2;

v = 2*(корень(2))^2 = 4;