Какой треугольник называется равносторонним: а. биссектриса совпадает с высотой. б. медиана является его высотой и биссектрисой. в. любая медиана является высотой.

Треугольник называется равносторонним, если его медиана является и биссектрисой, и высотой

В сечении имеем равнобедренный треугольник KSM.
Основание его KM равно половине диагонали основания:
КМ = 3√2/2.
KS и MS - это высоты h1 боковых граней.
KS = MS = √(5² - (3/2)²) = √(25 - (9/4)) = √22,75 ≈  4,7697.
Искомую площадь треугольника KSM можно определить двумя
- по формуле Герона,
- по высоте h2 и основанию.

По формуле Герона:
р = (2*4,7697 + (3√2/2))/2 ≈  5,8303562.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c).
Подставив данные, получаем S =  4,93235491 кв.ед.

Высота h2 сечения равна:
 h2 =√(4,7697² - ((3√2/2)/2)²) ≈  4,650269.
S = (1/2) KM*h2 = (1/2)(3√2/2)* 4,650269 ≈  4,932355 кв.ед.

Давай обозначим меньшую проекцию (наклонной, которая 13) на базовую прямую незатейливой буквой х. Тогда вторая проекция (наклонной длины 15) будет по условию х+4. Искомое расстояние от точки  до прямой обозначим букой Н. Тогда по теореме Пифагора образуется два уравнения:

13 ^2 = x^2 + H^2
15^2 = (x+4)^2 + H^2

Имеем два уравнения с двумя неизвестными. Можно решить. Ну так решим же эту систему методами алгебры.

Проще всего сначала будет исключить Н, тогда получим одно уравнение:
15^2 - (x+4)^2 = 13^2 - x^2
225 - x^2 - 8*x - 16 = 169 - x^2
 40 = 8*x
x = 5

То есть первая проекция у нас выходит 5 см, вторая, соответственно, 5+4 = 9 см.

Осталось последнее телодвижение - по теореме Пифагора же находим Н = корень ( 13*13 - 5*5) = корень(144) = 12 см -- это ответ.

Ну, у меня так получилось. Лучше проверь, а то с калькулятором не дружу.