10 класс.построение сечения параллелепипеда. 55 . постройте сечение параллелепипеда abcda1b1c1d1 плоскостью, проходящей через точки a, c, m, где м - середина ребра a1d1. рисунок обязателен.

Плоскость сечения проходит через точки А и С, следовательно, эти точки лежат на прямой, принадлежащей плоскости. Соединяем точки А и С. Имеем линию АС - линию пересечения грани АВСD параллелепипеда плоскостью сечения. Точка М лежит на ребре А1О1, то есть она принадлежит граням АА1D1D и А1В1С1D1 . Соединяем точки А и М - они обе принадлежат грани АА1D1D. АМ - линия пересечения грани AA1D1D параллелепипеда плоскостью сечения. Через точку М проводим прямую МК параллельно прямой АС (так как грани АВСD и A1B1C1D1
параллельны, а две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Получаем на ребре С1D1 точку К, которую соединяем с точкой С. Таким образом получаем линию пересечения грани DD1C1C секущей плоскостью.
ответ: трапеция АМКС - искомое сечение.

1a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно диагональные сечения этого параллелепипеда также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны основаниям, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку К параллельно диагональному сечению ВВ1D1D и представляет собой прямоугольник.
1б)  АС=BD =4√2 (диагонали квадрата со стороной 4).
АК:КС=1:3, значит АК=(1/4)*АС=(1/2)*АО. Тогда в треугольнике ABD отрезок EF - средняя линия и равен (1/2)*BD. Или EF=2√2.
В прямоугольном треугольнике АС1С гипотенуза АС1=4√6 (дано), катет
АС=4√2. Значит высота параллелепипеда равна СС1=√(96-32)=8. FG=CC1=8.
Тогда площадь сечения равна EF*FG=2*8=16√2 ед².
2a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно  сечения этого параллелепипеда, проходящие через диагонали боковых граней АА1В1В и DD1С1 также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны этим боковым граням, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку М параллельно сечению ADC1B1 и представляет собой прямоугольник.

2б)   D1С=DC1 =6√2 (диагонали квадрата со стороной 6).
D1M:MС=1:5, значит D1M=(1/6)*D1С=(1/3)*D1О. Тогда треугольники DDC1 и ED1H подобны с коэффициентом подобия 1/3 и отрезок EH  равен (1/3)*DС1. Или EН=(1/3)*6√2=2√2.
В прямоугольном треугольнике BD1D гипотенуза BD1=√88 (дано), катет
DD1=6. Значит диагональ основания параллелепипеда по Пифагору равна BD=√(88-36)=√52. Тогда  AD=√(BD²-AB²)= √(52-36)=4. EF=AD=4.
Площадь сечения равна EF*EH=4*2√2=8√2 ед².

Обозначим эти пропорции как 1х, 2х, 5х. Зная, что сумма углов треугольника составляет 180°, составляем уравнение:

х+2х+5х=180

8х=180

х=180÷8

х=22,5°. Первый угол=22,5° Теперь найдём остальные углы:

22,5×2=45° - это второй угол

22,5×5=112,5°- это третий угол

Задача 4:

Пусть угол при основании будет "х", тогда угол вершины будет = х+60. Зная, что сумма всех углов треугольника равна 180°, составляем уравнение:

х+х+(х+60)=180

2х+х+60=180

3х+60=180

3х=180-60

3х=120

х=120÷3

х=40; каждый угол при основании =40°; угол вершины=40+60=100°

Задача с треугольником 1:

В прямоугольном треугольнике угол А= 180-90-30=60°, угол А=60°

Так как катет АВ лежит напротив угла С, который =30°, то АВ= половине гипотенузы, значит гипотенуза АС в 2 раза больше АВ, из этого следует что АС= 11×2=22(см). Итак: АС=22см; угол А=60°

Задача с треугольником 2

Рассмотрим ∆ЕСК. Если медиана КР является ещё и высотой, значит этот треугольник равнобедренный и КР будет также и биссектрисой, которая разделит угол К пополам, и каждый угол будет по 45°. Если он равнобедренный, то КС=КЕ=14см. Найдём по теореме Пифагора гипотенузу ЕС:

14²+14²=196+196=√196×√2=14√2. ЕС=14√2см

Так как медиана КР делит сторону пополам, и являясь биссектрисой, делит угол, то ∆КЕР=∆КСР; стороны ЕР=РС=КР = 14√2÷2=7√2; КР=7√2(см)