Впрямоугольном треугольнике авс высота ch делит гипотенузу ab на отрезки ch=8 и bh=18. окружность, построенная на отрезке ch, как на диаметре, пересекает стороны аc и bc в точках p и k. найдите длину отрезка рк. ответ: 12. напишите, , решение.

Дано:  ∠ACB =90° , CH ⊥ AB , AH =8 ,BH =18 , CH диаметр ,P∈[CA] , K∈[CB .
---
PK -?

PK тоже  диаметр в этой окружности  (∠PCK ≡∠ACB=90°) .
Значит PK =HC  =√(AH*BH) =√(8*18) =√(2*4*2*9) =2*2*3 =12.

ответ :12.

"длинный путь" :
CH =√(AH*BH) =√(8*18) =12.
AC² =AB*AH ; AB =AH+BH =8+18 =26 ;
AC =√26*8 =4√13 ;
BC² =AB*BH ;
BC =√26*18 =18√13 . 
∠HPC =90°.
Из ΔAHC:  CH ² =AC*CP ⇒CP =CH²/AC = 144/(4√13) = 36/√13 .
∠HKC =90°.
Из ΔBHC: CH ² =BC*CK ⇒CK =CH²/AC = 144/(6√13) = 24/√13 .
Из ΔPCR:  PR =√((CP)² +(CK)²) = √((36/√13)²+(24/√13)²) =√( (12²/13)*(3² +2²) =12

Пирамида правильная, значит треугольник АВС - правильный (равносторонний), а вершина S проецируется в центр О треугольника АВС.
AS - боковое ребро =13.
SH - апофема = 10.
АН - половина стороны (так как в правильной пирамиде боковые грани - равнобедренные треугольники), по Пифагору равна √(AS²-SH²) или
АН=√(169-100)=√69.
АВ=2√69.
АВС - правильный треугольник, в котором СН - высота, медиана и биссектриса. СН=(√3/2)*АВ (формула).
СН=(√3/2)*2√69=3√23.
НО=(1/3)*СН (свойство медианы) или
НО=√23.
Из прямоугольного треугольника SOH по Пифагору:
SO=√(SH²-HO²) или SO=√(100-23) =√77.
ответ: SO=√77.

Дано :

ΔАВС.

D ∈ AB.

E ∈ BC.

DE ║ AC.

DB = 2,8 см.

АВ = 14 см.

АС = 13 см.

Найти :

ED = ?

Краткое -

∢BDE = ∢BАC, т. к. соответственные углы.

∢BЕD = ∢BCA, т. к. соответственные углы ⇒ ΔABС ∼ ΔDBЕ.

DE = 2,6 см.

Полное -

∠В - общий для ΔАВС и ΔDBЕ.

Рассмотрим соответственные ∠BED и ∠ВСА при пересечении параллельных прямых  ED и АС секущей ЕС.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

Тогда -

∠BED = ∠ВСА.

Следовательно, ΔАВС ~ ΔDBЕ по двум равным углам (первый признак подобия треугольников).

В подобных треугольниках против равных углов лежат сходственные стороны.

Тогда пара сторон -

АВ и BD - сходственные стороны

АС и DE - сходственные стороны.

Отношения сходственных сторон подобных треугольников равны.

То есть -

ED = 2,6 см.

2,6 см.