Решить зайки : * 2°. внутри равнобедренного треугольника abc отмечена точка o так, что углы oac и oca равны. прямая bo пере¬секает сторону ac в точке d. докажите, что отрезок bd является медианой, биссектрисой и высотой данного треугольника.

  угол оас=углу оса при стороне ас, значит треугольник   аос - равнобедренный. прямая во пересекает сторону ас в точке д. 

в треугольнике аов угол вао =вас-оас. в треугольнике вос угол овс=вса-оса, т.е. угол вао=углувсо. треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, а значит угол аво=сво. отссюда во (вд) - биссектриса.

рассматриваем треугольники адв и вдс они равны по стороне (ав и вс) и двум углам прилежащим к ней.   вд-медиана и высота. высота из формулы площади равных треугольников.

 

Если провести медиану m  к стороне c, а потом продлить её на свою длину и конец соединить с концами стороны c, то получится параллелограмм со сторонами a и  b, и диагоналями с и  2*m. для исходного треугольника теорема косинусов  c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(c); для треугольника со сторонами a, b, 2*m, на который делит построенный параллелограмм удвоенная медиана,  (2*m)^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(180 °  - c) = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(c); если сложить эти равенства, получится известное соотношение для параллелограмма (2*m)^2 + c^2 = 2*(a^2 + b^2); (сумма квадратов диагоналей параллелограмма  равна удвоенной сумме квадратов сторон) отсюда легко найти медиану исходного треугольника m^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4; само собой, остальные медианы находятся просто заменой обозначений.

Пусть треугольник авс, ав=вс, аа1 и вв1- биссектрисы, о- точка пересечения биссектрис, он- перпендикуляр к боковой стороне вс. 1) в треугольнике авв1 биссектриса ао делит сторону вв1 на отрезки в отношении 5: 3, по свойству биссектрисы ав: ав1=5: 3 2) пусть х- коэф. пропорциональности, тогда ав=5х, ав1=3х и по теореме пифагора вв1= 4х 3) так как во: ов1=5: 3, следовательно во=(4х: 8)·5=2,5х 4) сн-вн=4, сн+вн=5х⇒2вн=5х-4⇒вн=2,5х-2 5) треугольники свв1 и овн подобны (по трем равным углам) из подобия составим пропорцию: 5х/2,5х=4х/2,5х-2⇒х=4 6) периметр 5х+5х+6х=16х=64