Высота, опущенная на одну сторону из сторон параллелограмма, площадь которого 96 см квадратных, в 3 раза меньше этой стороны. найти эту сторону и высоту.

Обозначим высоту - x Тогда сторона 3*x Тогда площадь 3*x*x Решим уравнение 3*x*x=96

Сделаем схематический рисунок  осевого сечения конуса и шара так, чтобы высота конуса наложилась на диаметр шара, при этом они совпадут ( равны по условию), 

Осевое сечение шара - круг, конуса - треугольник, в данном случае - равносторонний треугольник, т.к. образующая составляет с плоскостью основания угол 60°.

Примем радиус шара равным R. Тогда высота конуса BH=2 R.

Высота ( она же медиана и биссектриса) делит равносторонний треугольник АВС на два равных прямоугольных  с острыми углами ВАН=ВСН=60°.

Радиус основания конуса=АН=СН= ВН:tg60°=2R:√3

V (к)=πr•h:3=π(2R/√3)²•2R/3

V(к)=8πR³/9

V(ш)=4πR³:3 

Искомое отношение V (кон):V(шара)

(8πR³/9):(4πR³:3)=(8πR³•3):(9•4πR³)=2:3

1) Формула объёма конуса V=S•H:3=πr²H:3

Формула объёма шара

V=4πR³:3

Осевое сечение данного конуса - равносторонний треугольник, т.к. его образующая составляет с плоскостью основания угол 60°. 

Выразим радиус r конуса через радиус R шара.

r=2R:tg60°=2R/√3

V(кон)=π(2R/√3)²•2R²3=π8R³/9

V(шара)=4πR³/3

V(кон):V(шар)=[π8R³/9]:[4πR³/3]=(π•8R³•3/9)•4πR³=2/3

———————

2) Формула объёма цилиндра 

V=πr²•H

Формула площади осевого сечения цилиндра

S=2r•H

Разделим одну формулу на другую:

(πr²•H):(2r•H)=πr/2⇒

96π:48=πr/2⇒

4π=πr

r=4

Из площади осевого сечения цилиндра:

Н=S:2r=48:8=6

На схематическом рисунке сферы с вписанным цилиндром 

АВ- высота цилиндра, ВС - его диаметр, 

АС - диаметр сферы. 

АС=√(6²+8²)=√100=10

R=10:2=5 

S(сф)=4πR8=4π•25=100π см²