Диагональ ас прямоугольной трапеции abcd перпендикуляр на боковой стороне cd и составляет угол в 60 градусов с основанием ad найдите площадь трапеции если ad=24 см

ΔACD: ∠ACD = 90°, ∠CAD = 60°, ⇒ ∠ADC = 30°
              AC = AD/2 = 24/2 = 12 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.

∠ВАС = 90° - 60° = 30°

ΔАВС: ∠АВС = 90°, ВС = АС/2 = 6 см как катет, лежащий напротив угла в 30°
             АВ = АС·sin60° = 12·√3/2 = 6√3 см

Sabcd = (AD + BC)/2 · AB = (24 + 6)/2 · 6√3 = 15 · 6√3 = 90√3 см²

7

 

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

 

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

 

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

 

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

 

АМ и ВM знаем

2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC

4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

 

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

 

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60

4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2

4+2*CM=100-10*CM

12*CM=96

СМ=8

Пусть АВ-перпендикуляр плоскости, АС-наклонная и С-прямая в плоскости, проходящая через основание С. Проведём прямую СА1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости. Проведём через прямые АВ и СА1 плоскость. Прямая С перпендикулярна прямой СА1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости, а значит, и прямой АС. Значит, если прямая С перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СА1 перпендикулярна плоскости, а значит и проекции наклонной СВ. Теорема доказана)