Из точки m проведён перпендикуляр md равный 6 см к плоскости квадрата.наклонная mo образует с плоскостью квадрата угол 60.o-точка пересечения диагоналей.доказать, что треугольник mod прямоугольный.найти площадь квадрата и рисунок

ответ: ∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ;  ∠АВС = 120° .

Условия задачи:

Δ АВС - равнобедренный , следовательно:

Боковые стороны равны ⇒  АВ=ВС = 14,2 см  

Углы при основании равны :

АС  - основание  ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD) 

BD =7,1 см   - высота к основанию АС ⇒  является медианой и биссектрисой : 

∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)

AD = DC = АС/2   (т. к. BD - медиана)

∠ABD = ∠CBD  (т. к. BD - биссектриса)

ΔBDA  =  ΔBDC   - прямоугольные треугольники 

Решение.

1) ΔBAD  

По условию катет BD = 7,1 см ,  гипотенуза АВ = 14,2 см , следовательно :

BD = 1/2  * AB  =  1/2  * 14,2 = 7,1 см 

Если катет равен  половине гипотенузы, то угол лежащий против  этого катета равен 30°  ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°

Проверим по определению синуса:

sin A  = 7/14 = 1/2     ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°

2) ΔАВС :

Сумма  углов  любого треугольника  = 180°

∠АВС = 180°  - (∠ВАС + ∠ВСА)

∠АВС  =  180  -  2*30  = 120 °

  сумма внутренних углов:   .      площадь треугольника:               где p – полупериметр треугольника,  .      , где r – радиус вписанной окружности, r – радиус описанной окружности.      центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис; центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.      теорема косинусов:   a2=b2+c2-2bccosa.      теорема синусов:   .      свойство медиан:   ao: om=2: 1.      свойство биссектрис: ca: ad=cb: bd.      свойства средней линии: ef||ab,  .