Втреугольнике авс известно, что ас=8, вс=15, угол с равен 90°.найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Прямой угол С опирается на диаметр, значит гипотенуза, лежащая против прямого угла и есть диаметр
По теореме Пифагора
АВ²=АС²+ВС²=8²+15²=64+225=289=17²
АВ=17

АВ=2R    ⇒    2R=17      ⇒    R=8,5 

Напишу для первого

За т.синусов

MN                  MK

       =    

sinK               sinN

Найдем кут K

КутК=180-(КутN+КутМ)

180-(20+80)=80

sinK = 0.984

sinN = 0.984

MN = (МК x sinK):sinN

MN = (10 x 0.984):0.984 = 10

И тут я понял, что скорее всего вам нужно найти сторону MN через равнобедренность треугольника (скорее всего тему косинусов вы еще не проходили), поэтому напишу второе решение:

Докажем равнобедренность треугольника

КутК=180-(КутN+КутМ)

180-(20+80)=80

Так как углу углы при основе одинаковые, то треугольник равнобедренный и из этого выплывает что МК=MN=10

1. От точки М откладываем отрезок МО=7 см

2. Раствором циркуля 28 мм чертим окружность с центром в точке О. 

3. Точку пересечения окружности и отрезка ОМ обозначим К.

4. Из точки К раствром циркуля, равным радиусу окружности 28 мм, отмечаем на окружности точку Т.

5.Соединим эту точку с М. Этот отрезок -  касательная из М к окружности.

---------------------

Доказательство:

В получившемся треугольнике ТОК все стороны равны. ∠ ТОК равен 60°. 

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой. Следовательно, угол КТМ равен половине  градусной меры дуги ТК, которая равна 60°, и потому ∠ КТМ= 30°. 

Отсюда ∠ОТМ=∠ОТК+КТМ=90°,  а прямая МТ - касательная к окружности, что и требовалось при построении.