Даны две точки: m, лежащая в плоскости oxz, и p (1; 2; 1), причем абсцисса точки m равна ее аппликате. прямая pm составляет с плоскостью xoy угол 30 градусов. найдите координаты точки m.

Обозначим абсциссу точки М х. Тогда
М (х ; 0 ; х).
Р (1 ; 2 ; 1)
Координаты вектора РМ ( x - 1 ; - 2 ; x - 1).

N - проекция точки Р на плоскость XOY.
N (1 ; 2 ; 0)
Координаты вектора NP (0 ; 0 ; 1)

Прямая РМ составляет с плоскостью XOY угол 30°, значит угол между векторами РМ и NP  равен 60° или 120°.

↑PM · ↑NP = (x - 1) · 0 + (- 2) · 0 + (x - 1) · 1 = x - 1
|↑PM| = √((x - 1)² + 4 + (x - 1)²) = √(2(x - 1)² + 4)
|↑NP| = √(0² + 0² + 1²) = 1

1) cos60° = (↑PM · ↑NP) / (|↑PM| · |↑NP|)
1/2 = (x - 1) / √(2(x - 1)² + 4)
2(x - 1) = √(2(x - 1)² + 4)                         
ОДЗ: x - 1 ≥ 0
          х ≥ 1
4(x - 1)² = 2(x - 1)² + 4
(x - 1)² = 2
x - 1 = √2              x - 1 = - √2
x = √2 + 1              x = - √2 + 1 - не входит в ОДЗ
M (√2 + 1 ; 0 ; √2 + 1)

2) cos 120° = (↑PM · ↑NP) / (|↑PM| · |↑NP|)
- 1/2 = (x - 1) / √(2(x - 1)² + 4)
- 2(x - 1) = √(2(x - 1)² + 4)                         
ОДЗ: x - 1 ≤ 0
          х ≤ 1
4(x - 1)² = 2(x - 1)² + 4
(x - 1)² = 2
x - 1 =  - √2              x - 1 = √2
x = - √2 + 1              x = √2 + 1 - не входит в ОДЗ
M (- √2 + 1 ; 0 ; - √2 + 1)

1.  24 см².

2.  7,4 см.

3.  1560 см².

4.  4,62 дм².

5.  3,2 см.

Объяснение:

1.  S=1/2h(a+b), где  a и b - основания трапеции, h-высота

S=1/2*3(6+10)=1/2*3*16=48/2= 24 см ²

***

2.  SΔ=1/2ah, где а- основание h - высота.

14h/2=52;

14h=104;

h=104/14=7,4 см.

***

3.  S=ah, где а- сторона параллелограмма, h - высота, опущенная на эту сторону.

Проведем h=BE⊥AD.  Получим ΔABE с углами 60*, 90* и 30*.

h=АЕ=1/2AB=52/2=26 см .

S=60*26=1560 см².

***

4.  S ромба =(d1*d2)/2=4,2*1,1= 4,62 дм². (11 см=1,1 дм).

***

5.  Площадь треугольника равна S=ah/2, где а основание, h - высота к этой стороне.

S=16*11/2=88 см².

Найдем высоту, проведенную к стороне ВС=55 см.

S=55*h/2;

55h=88*2;

h= 176/55=3,2 см.

1. Условие: ABCDA1B1C1D1 - правильная четырёхугольная призма

AB=корень из 3=sqrt(3)

B1D=2.5

DD1-?

 

Решение: Так как призма правильная и четырёхугольная по условию, то фактически перед нами прямоугольный параллелепипед, а значит, его диагональ вычисляется с пространственной теоремы Пифагора, то есть B1D=sqrt(AB^2 + BC^2 + DD1^2). 

Так как призма правильная, значит, в основании лежит правильный четырёхугольник или квадрат. А у квадрата все стороны равны, значит, можно упростить, B1D=sqrt(2 * AB^2 + DD1^2).  Отсюда, DD1 = sqrt(B1D^2 - 2*AB^2)=sqrt(2.5^2 - 2*3)=sqrt(6.25-6)=sqrt(0.25)=0.5

 

ответ: 0,5

 

2. Условие: DABC - правильная треугольная пирамида

AM=MB

DM=4

Sбок=72

угол DMO-?

 

Решение: Так как пирамида правильная, значит, её боковые грани - ранвые равнобедренные треугольники, а значит, DM - высота и биссектриса по свойству медианы равнобедренного треугольника. Следовательно, DМ - апофема. Зная апофему и площадь боковой поверхности, можем найти периметр треугольника АВС, лежащего в основании: Sбок=0,5 * Pосн * DM, значит, Pоснования = 36. 

Так как пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный треугольник, следовательно, АВ=ВС=АС=36:3=12

Вершина D проецируется в плоскость основания АВС. Обозначим проекцию точки через букву О. Расстояние от этой точки до стороны АВ равно ОМ. Отрезок ОМ совпадает с радиусом окружности, вписанной в правильный треугольник АВС, следовательно, ОМ = (sqrt(3)/6)*AB =  (sqrt(3)/6)*12 = 2*sqrt(3)

В прямоугольном треугольнике DMO рассмотрим угол DMO. Его косинус равен отношению ОМ к DM, то есть cosDMO=OM/DM=(2*sqrt(3)) /4=(sqrt(3))/2, значит угол DMO = 30 градусов. 

 

ответ: 30 градусов.