Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135 градусов, а его гипотенуза -4√2 см. чему равны катеты данного треугольника?

Дано: АВС - прямоуг. треугольник;
АСВ - прямой угол;
∠ABD=135° - внешний угол;
AB - гипотенуза = 4√2
Найти: АС и ВС.
Решение:
Катеты данного треугольника равны (АС = ВС = x), т.к. смежный угол (∠АВС = ∠CBD - ∠ABD = 180° - 135°) равен 45°. Следовательно, в прямоугольном треугольнике углы равны 90°, 45° и 45°. => треугольник АВС - равнобедренный. Катеты равны. Возьмём их за "х".
Получаем: АВ = √АС² + ВС²;
4√2 = √2х²;
4√2 = x√2;
x = 4√2/√2
х = 4.

Трапеция АВСД, АД=10, ВС=5, АС=12, ВД=9
проводим высоту СН на АД
Площадь трапеции =1/2*(АД+ВС) * СН
Из точки С проводим прямую параллельную ВД до пересечения с продолжением основания АД в точке К. Четырехугольник НВСК - параллелограмм, ВС=ДК=5, ВД=СК=9, АК=АД+ДК=10+5=15, СН - высота треугольника АСК
площадь треугольника АСК = 1/2АК*СН, но АК=АД+ДК(ВС)
т.е. площадь треугольника АСК=площадь трапеции АВСД,
площадь треугольника АСК=корень(р * (р-АС)*(р-СК)*(р-АК)), где р -полупериметр
полупериметр треугольника АСК=(12+9+15)/2=18
площадь треугольника АСК=корень(18 *6*9*3)=54 = площадь трапеции АВСД

D равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому угол А=углу С. Бисектриса делит угол пополам, значит угол ВАД=углуДАС. Пусть угол ВАД=х градусов, тогда, угол ДАС=х градусов, угол С = 2х градусов. Углол АДВ внешний к треугольнику АДС по свойству внешнего угла угол АДВ= угол ДАС+уголДСА,  110=х+2х, 3х=110 градусов, х=110:3=36градусов40минут. угол С=2*36градусов40минут=72градуса80минут=73градуса20минут, угол А=углу С=73градуса20минут . Сума углов в треугольнике равна 180 градусов, в треугольнике АВС угол В=180-(73градуса20минут+73градуса20минут)=180-146градусов40минут=179градусов60минут-146градусов40минут=33градуса20минут