На стороне cd параллелограмма abcd отмечена точка e.прямые ae и bcпересекаются в точке f.найдите ef и fc, если de=8см, ec=4см, bc=7см, ae=10см)

треугольники abf и ecf подобны, поэтому: (10+ef)/ef=ab/ec; (10+ef)/ef=3; 10+ef=3*ef; 2*ef=10; ef=5cm (7+fc)/fc=3; 7+fc=3*fc; 2*fc=7; fc=3.5cm

1) <А+<В=180°(св-во парал.)

<А=х°, тогда <В=х°+30°.

х°+х°+30°=180°

2х°=150°

х=75°

Тогда <А=75°, <В=75°+30°=105°.

ответ: <А=<С=75°, <В=<D=105°.

2) <А+<В=180°(св-во парал.)

<А=х, тогда <В=3х.

х+3х=180°

4х=180°

х=180°:4

х=45°

Тогда <А=45°, <В=45°*3=135°.

ответ: <А=<С=45°, <В=D=135°.

3) Если один из углов параллелограмма равен 90°, то такой параллелограмм - прямоугольник. Значит, все углы по 90°.

4) Если в параллелограмме диагонали равны, то такой параллелограмм - прямоугольник. Значит, все углы по 90°.

Докажем, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, то этот треугольник — прямоугольный. утверждение. если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол напротив этой стороны равен 90º. дано: ∆abc, co — медиана, co=1/2 ab доказать: ∠acb=90º. доказательство. 1) так как co —  медиана треугольникаabc и co=1/2 ab (по условию), то co=ao=bo. поэтому, треугольник aoc — равнобедренный с основанием ac, треугольник boc — равнобедренный с основанием bc (по определению равнобедренного треугольника). 2) так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, ∠oac=∠oca, ∠obc=∠ocb. пусть ∠oac=oca=φ. так как  сумма углов треугольника  равна 180º, то в треугольнике aoc ∠aoc=180º-(∠oac+∠oca)=180º-2φ. 3) ∠aoc+∠boc=180º (как  смежные). поэтому, ∠boc=180º-∠aoc=180º-(180º-2φ)=180º-180º+2φ=2φ. 4) в треугольнике boc ∠obc=∠ocb=(180º-∠boc): 2=(180º-2φ): 2=90º-φ. 5) ∠acb=∠ocb+∠oca=90º-φ+φ=90º. что и требовалось доказать.