Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной 4, диагональ параллелепипеда = 9. найдите длину бокового ребра прямоугольного параллелепипеда.

1) АС - диагональ основания, по т Пифагора к тр АСД АС=√(16+16) = √32=4√2
2) рассм тр АСС1 (уг АСС1 =90*) по т Пифагора СС1 = √(81-32) = √49=7
 СС1 = 7 - боковое ребро данного параллелепипеда
ответ: 7

Если хорошо посмотреть на правильный (равносторонний ) Δ  АВС и точку О (центр сферы. то  увидишь правильную пирамиду, у которой боковое ребро - радиус сферы. Высота пирамиды =2 и сторона основания = 6
Надо найти боковое ребро ( оно = R и S = 4πR^2)
Смотрим только на  пирамиду. Проведена высота ОК. Точка К - это точка пересечения медиан (высот, биссектрис). Медианы в равностороннем треугольнике делятся в отношении 1:2. Ищем медиану по т. Пифагора
m^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27
m = 3√3 
 Боковое ребро можно найти из Δ АО К.   АО ищем, ОК = 2,  АК = 2/3·3√3=2√3/3 = R сферы.
Ищем площадь сферы.
S = 4π R^2 = 4π(2√3/3)^2=16π/3

Условие задачи дано с ошибкой: если в основании прямоугольного параллелепипеда квадрат, то диагональ основания составляет с боковой гранью угол 45°, а не 30°. Кроме того, по этим данным невозможно найти высоту прямоугольного параллелепипеда.

Задача встречается в таком виде:
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда  равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.

DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.

ΔB₁C₁D: ∠C₁ = 90°,
                 B₁C₁ = DB₁ · sin30° = 12 · 1/2 = 6 - ребро основания
                 DC₁ = DB₁ · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3

ΔDCC₁: ∠C = 90°, по теореме Пифагора
               СС₁ = √(DС₁² - DC²) = √(108 - 36) = √72 = 6√2 - высота параллелепипеда

V = Sосн·H = 6² · 6√2 = 216√2