Вравнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию равен 110 градусов. найти углы при основании.

180-110=70
70:2=35 т.к. в равноб.треуг. углы при основании равны.

Площа трикутника дорівнює половині від твору його боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято в такому випадку називати підставою. Таким чином, можна сказати, що площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

Якщо позначити довжину сторони-основи трикутника як a, висоту – як h, то вийде формула площі трикутника:

S = ½ ah

Щоб довести цю формулу, слід розглянути всі варіанти розташування висоти в трикутнику. Їх усього три. Це:

Висота збігається з однією з сторін трикутника. У цьому випадку ми маємо справу з прямокутним трикутником, в якому за основу взято один з катетів. Висотою ж, проведеної до цього катету, є інший катет.

Висота знаходиться всередині трикутника. У цьому випадку вона перетинається з основою і ділить його на два відрізки. При цьому даний трикутник ділиться на два прямокутних трикутника.

Висота проходить за межами трикутника. У такому випадку вона перетинається не з самим підставою, а з його продовженням (прямий, на якій лежить підстава).

Розглянемо перший випадок. Нехай дано трикутник ABC. У ньому до основи AC довжиною a проведена висота h, яка співпала зі стороною BC:

Площа прямокутного трикутника

Як відомо площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін. Якби у нас був прямокутник зі сторонами, довжини яких a і h, то його площа дорівнювала б ah. Якщо в прямокутнику провести діагональ, то вона розбиває його на два рівних прямокутних трикутника (у них відповідно рівні всі три сторони). Площі цих трикутників також рівні між собою і кожна становить ½ від площі всього прямокутника. Таким чином доведено, що площа трикутника в даному випадку буде дорівнює ½ah.

Розглянемо другий випадок. Нехай у ньому висота BH довжиною h перетинає сторону AC довжиною a.

Площа трикутника по підставі і висоті

У цьому випадку ми отримуємо два прямокутних трикутника: ABH і CBH. З розглянутого першого випадку ми знаємо, що їх площі рівні відповідно ½ · AH · h і ½ · CH · h.

Площа ж усього трикутника ABC являє собою суму цих двох площ:

S = ½ · AH · h + ½ · CH · h

Винесемо за дужки спільні множники:

S = ½ · h · (AH + CH)

Але ж AH і CH в сумі складають довжину a. Таким чином, приходимо до формули, яку потрібно було довести:

S = ½ · h · a

Тепер розглянемо третій випадок, коли висота знаходиться за межами трикутника:

Площа трикутника по підставі і висоті

Тут ми теж можемо побачити два прямокутних трикутника. Це ΔABH і ΔCBH. Причому перший включає в себе другий. Шуканий самий трикутник ABC є доповненням до трикутника CBH до трикутника ABH. Таким чином ми можемо записати, що площа ΔABH дорівнює сумі площ ΔCBH і ΔABC:

SΔABH = SΔCBH + SΔABC

Звідки знаходимо площа шуканого трикутника ABC:

SΔABC = SΔABH – SΔCBH

Площа трикутника ABH дорівнює ½ · AH · h, площа трикутника CBH дорівнює ½ · CH · h:

SΔABC = ½ · AH · h – ½ · CH · h

Виносимо загальні множники за дужку:

SΔABC = ½ · h · (AH – CH)

Але ж якщо з відрізка AH відняти відрізок CH, то вийде відрізок AC, довжина якого дорівнює a. Отже, ми можемо записати, що і в цьому випадку площа трикутника дорівнює також ½ ah.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Трапеция - четырехугольник, следовательно,  если в неё можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. 

Сумма оснований данной трапеции 3+5=8, а её средняя линия равна 4 

Пусть длина меньшего основания а . Тогда длина большего - 8-а.

Средняя линия трапеции делит саму трапецию на две меньшего размера, высоты каждой из которых равны половине высоты исходной. 

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. 

Пусть высота каждой части трапеции равна h. 

Тогда площадь верхней трапеции будет (а+4)•h:2,  

а площадь большей (8-а+4)•h:2=(12-а)•h:2

По условию отношение этих площадей равно 5/11⇒

[ (а+4)•h:2]:[ (12-а)•h:2]=5/11

Отсюда 60-5а=11а+44

16а=16

а=1

Меньшее основание =1(ед. длины)

Большее 8-1=7 (ед. длины.