А) будут ли гомотетичными отрезки ab и cd, ab=2 см, cd=6 см, ab∥cd б) чему равен коэффициент гомотетии?

а) Для начала вспомним, что такое гомотетия.
Гомотетия - преобразование подобия. Это преобразование, в котором выделяются подобные фигуры.

Проведём прямые АС и BD до пересечения в точке Е.
тр. ЕАВ подобен тр. ЕСD по двум углам:
угол Е - общий ;
угол ЕАВ = угол ECD - как соответственные углы при параллельных прямых AB и СD и секущей ЕС.
Как видно, одна фигура переходит в другую фигуру, ей подобную.

Дополнительное построение необходимо для понимания проявления гомотетии.

б) Найдём коэффициент гомотетии. Он равен коэффициенту подобия треугольников ЕАВ и ЕCD:
АВ = k • CD
2 = k • 6
k = 1/3
ИЛИ
CD = k • AB
6 = k • 2
k = 3

ОТВЕТ: а) будут ; б) 1/3 или 3.

Гипотенуза этого прямоугольного треугольника является диаметром окружности. 

Так как отношение катетов 3:4, то гипотенуза в этом отношении будет 5,

т.е все стороны треугольника относятся как 3:4:5, поскольку этот треугольник - египетский. 

Примем коэффициент отношения сторон за х

тогда его периметр равен 

3х+4х+5х=12х

Коэффициент равен 36:12=3

Диаметр круга 

3*5=15 см

Радиус 15:2=7,5 см

 

-------------------------------

 

Боковую сторону можно найти через синус угла при вершине треугольника.

Он равен 180-2а

х=h: sin(180-2а)

 

Рассмотрим четырехугольник aclk. Здесь ac II kl по условию, а отрезки cl и ak лежат на продолжении параллельных сторон параллелограмма abcd. Значит cl II ak. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны - параллелограмм. Значит, aclk - параллелограмм.Зная, что в параллелограмме противоположные стороны равны, запишем:
ac=kl.
Рассмотрим четырехугольник eacf. Здесь ef II ac по условию, а отрезки ea и fc лежат на продолжении параллельных сторон параллелограмма abcd. Значит ea II fc. Противоположные стороны попарно параллельны, значит, eacf - параллелограмм также. Противоположные стороны параллелограмма равны:
ac=ef.
Но выше мы вывели, что ac=kl, значит kl=ef.
ek=ef+fk,
fl=kl+fk
Зная, что  kl=ef, получаем ek=fl