Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с углом в 120 градусов. найдите высоту конуса, если площадь его боковой поверхности равна 27п дм квадратных. если можно с решением

площадь сектора, который треть от круга, равна 27пи, поэтому площадь всего круга 81пи, и следовательно радиус этого круга, то есть - образующая конуса, равен 9. 

радиус же основания равен корень(27), потому что внешняя дуга сектора одновременно - окружность, ограничивающая основание (до развертки).

этот радиус основания вместе с высотой конуса и образующей составляют прямоугольный треугольник, то есть

h^2 = 9^2 - (корень(27))^2 = 54.

h = 3*корень(6);

 

1) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол а=180-(82+40)=58*2) т.к. сс1-биссектриса угла с, то угол с1св и угол с1са=20*3) т.к. аа1-биссектриса угла а, то угол ваа1 и угол а1ас=29*4) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол вс1с=180-(82+20)=78*5) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол ва1а=180-(82+29)=69*6) из 2 пункта следует, что угол с1са=20*из 3 пункта следует, что угол а1ас=29*7) т.к. сумма углов треугольника=180*, то из 6 пункта следует, что угол амс=180-(29+20)=131* 8) т.к. угол амс и угол с1ма1 вертикальные, следовательно они равны, следовательно угол с1ма1=131*  или так: 1) угол с1са=40: 2=20 уголмас=(180-82-40): 2=29

способ 1)- наиболее  подробный

соединим центр о с а, в, с, д.

∆ аов и ∆ сод - равнобедренные ( боковые стороны - радиусы). 

проведем из   о высоту ∆ аов, точку пересечения   с ав обозначим м, с сд - н. 

отрезок ом  ⊥сд - как секущая, образующая равные накрестлежащие (   и соответственные) углы при пересечении параллельных прямых.

  в равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой.  ⇒

ам=вм; сн=дн.

∠мод=∠мос;   ∠аом=∠вом⇒

∠мод -∠аом=  ∠аод

∠мос -  ∠вом=∠вос

если из равных величин вычесть по равной величине, оставшиеся части - равны.  ⇒

∠аод  =∠вос - эти углы - центральные. 

равные центральные углы опираются на равные дуги.  ⇒

◡ад=◡сд, что и требовалось доказать. 

способ 2)

соединим а и д, в и с. 

четырехугольник авсд имеет две параллельные стороны,  ⇒ является трапецией. 

в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. 

следовательно. хорды ад и вс равны.

равные хорды стягивают равные дуги.  ◡ад=◡сд, ч.т.д.

способ 3) как дополнение к способу 2)

т.к. в равнобедренной трапеции диагонали равны, они при пересечении образуют два равнобедренных подобных треугольника, и тогда   углы   асд и вдс равны, а равные вписанные углы опираются на равные дуги.  ⇒

◡ад=◡сд, ч.т.д.