На рисунке треугольник mnr прямоугольный. угол n =90 градусов.rf//mn. угол mrn=42градуса найдите уголmrn и угол m.

по теореме о сумме углов треугольника мы имеем что уголn+уголm+угол r=180 градусов, исходя из этого угол м= 180-(90+42)=48градусов

уголmrf=90 градусов-42 градуса=48градусов

медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины. ⇒

ао=12: 3•2=8

co=15: 3•2=10

  весь треугольник разделяется своими тремя медианами на шесть равновеликих  (равных по площади) треугольников.  если провести медиану из в к ас, то 

площадь ∆ аос =2•1/6 s abc=1/3 s abc

по т.герона площадь треугольника 

s=√(р•(р-а)•(p-b)•(p-c), где а, b и c - стороны треугольника, р - его полупериметр. 

р ∆ авс=(12+8+10): 2=15

по т.герона s ∆aoc=√15•(15-8)•(15-10)•(15-12) 

s ∆ aoc=√15•7•5•3=15√7⇒

s ∆ abc=3•15√7=45√7 (ед. площади)

Теорема если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. доказательство. пусть треугольники abc и a1b1c1 такие, что ab=a1b1, ac=a1c1, bc=b1c1. требуется доказать, что треугольники равны. допустим, что треугольники не равны. тогда ∠ a ≠ ∠ a1, ∠ b ≠ ∠ b1, ∠ c ≠ ∠ c1 одновременно. иначе треугольники были бы равны по первому признаку. пусть треугольник a1b1c2 – треугольник, равный треугольнику abc, у которого вершина с2 лежит в одной полуплоскости с вершиной с1 относительно прямой a1b1. пусть d – середина отрезка с1с2. треугольники a1c1c2 и b1c1c2 равнобедренные с общим основанием с1с2. поэтому их медианы a1d и b1d являются высотами. значит, прямые a1d и b1d перпендикулярны прямой с1с2. прямые a1d и b1d не , так как точки a1, b1, d не лежат на одной прямой. но через точку d прямой с1с2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. мы пришли к противоречию. теорема доказана.