Востроугольном треугольнике авс отрезок мк, соединяющий основания высот ам и вк, виден из середины е стороны ав под прямым углом. найдите величину угла с. a) 45 градусов b) 90 градусов c) 60 градусов d) 75 градусов

В остроугольном треугольнике АВС отрезок МК, соединяющий основания высот АМ и ВК, виден из середины Е стороны АВ под прямым углом. Найдите величину угла С.

Если в равнобедренной трапеции провести высоты ВН и СК, то получим НВСК - прямоугольник (ВС║КН, так как основания трапеции параллельны, ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой), тогда

ВС = КН и ВН = СК.

ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD, так как трапеция равнобедренная, ВН = СК), тогда

АН = DK = (AD - KH)/2 = (AD - BC)/2.

Площадь трапеции:

Sabcd = (AD + BC)/2 · BH

Воспользуемся этими выводами для решения задач:

а) AH = DK = (17 - 11)/2 = 3 см

ΔАВН прямоугольный с гипотенузой, равной 5 см и катетом 3 см, значит он египетский и

ВН = 4 см.

Sabcd = (17 + 11)/2 · 4 = 28/2 · 4 = 14 · 4 = 56 см²

б) AH = DK = (8 - 2)/2 = 3 см

ΔABH: ∠AHB = 90°, ∠BAH = 60°, ⇒ ∠ABH = 30°.

            AB = 2AH = 6 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°,

            по теореме Пифагора:

            BH = √(AB² - AH²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см

Sabcd = (8 + 2)/2 · 3√3 = 15√3 см²

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.Т. к. один из острых углов равен 60°, значит, второй угол равен 90° - 60° = 30°.
Против меньшего угла лежит меньшая сторона.
Значит, против угла в 30° лежит меньший катет.
Известно, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Пусть катет равен х см, тогда гипотенуза равна (2х) см. 
По условию сумма меньшего катета и гипотенузы равна 42 см. Составим и решим уравнение:
х = 2х = 42
3х = 42
х = 42 : 3
х = 14
Значит, меньший катет равен 14 см, а гипотенуза равна 14 · 2 = 28 (см)
ответ: 28 см.