Основою призми є правильний трикутник зі стороною 4. одна з бічних граней перпендикулярна до основи і є ромбом, діагональ якої дорівнює 6. знайти об*ем м призми .

Рассмотрим ромб АА1С1С: стороны AA1 = A1C1 = C1C = AC = 4, диагональ АС1 = 6, а поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, имеем АО = ОС1 = 3. Из прямоугольного треугольника АОС: из теоремы Пифагора:OC^2 = OA^2 + OC^2, OC^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7, OC = корень из 7. А1С = 2ОС = 2 корня из 7.
Площадь ромба равна произведению диагоналей поделить на два, и также она равна произведению стороны и опущенной на нее высоты. Из первого случая S = AC1*A1C = (6 умножить на 2 корня из 7) поделить на два, S ромба = 6 корней из 7. Из второй формулы имеем: S = AC*A1K, 6 корней из 7 = А1К*4б А1К = 6 корней из 7 поделить на 4, А1К = 3 корня из 7 разделить на 2.
Найдем площадь основания через формулу Герона: S = корень из p(p - AB)(p - BC)(p - AC), р - полупериметр треугольника, р = 4*3/2 = 12/2 = 6. S = корень из 6(6-4)(6-4)(6-4) = 6*2*2*2 = 6*8 = 48. S = корень из 48 = 4 корня из 3. Площадь основания равна 4 корня из 3.
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту^ V = So*H. Поскольку грань, которая является ромбом, перпендикулярна к основанию, то высота ромба равна высоте призмы: A1K = H = 3 корня из 7 поделить на 2. V = 4 корня из 3 умножить на 3 корня из 7 и разделить на 2. V = 6 корней из 21.

Правильная четырехугольная пирамида с плоским углом при вершине 60°, => боковые грани пирамиды правильные треугольники со стороной m=5 см.
V=(1/3)*Sосн*H
Sосн=m², Sосн=25 см²
1. прямоугольный треугольник:
гипотенуза - d диагональ квадрата - основания пирамиды
катеты -стороны квадрата m=5 см
по теореме Пифагора: d²=m²+m²
d²=50
2. прямоугольный треугольник:
гипотенуза - боковое ребро пирамиды m=5 см
катет - высота пирамиды Н
катет - (1/2)d
по теореме Пифагора:
Н²=m²-(d/2)², H²=25-50/4. H²=50/4. H=5√2/2
V=(1/3)*25*5√2/2
V=125√2/6 см³

Пусть трапеция ABCD , AD|| BC ; ∠BAD = ∠ABC =90° ; ∠BDC =∠BDA  ;
AO/CO =8/5(O_точка пересечения диагоналей AC и BD) , AB =12 см.

BC -? ; CD -? ; AD -? ; S =S(ABCD) -?

∠BDC =∠BDA  (по условию) и
∠BDA =∠DBC (как накрест лежащие углы)  ⇒∠BDC =∠DBC ,т.е.ΔBCD
равнобедренный:  CB =CD.
ΔAOD ~ΔCOB ⇒AD/CB =AO/CO =8/5.
AD=8k , CB =5k.  || тоже  CD =CB=5k ||
Проведем CE⊥AD (E∈AD, ABCE -прямоугольник), CF =h =AB =12 см  ; 
DE=AD-AE=AD - CB =8k-5k =3k .
Из ΔСED  по теореме Пифагора :
CD² -DE² = CE² ⇔(5k)² - (3k)² = (3*4)² ⇒k =3.
CD =CB =5k =5*3 =15 (см)  , AD =8k =8*3 =24 (см) .
---
S =(AD+BC)/2 *h =(24+15)/2*12 =39*6 =234 (см²) .