Точки о(0; 0), a(4; 1) и b(4; 5) являются вершинами треугольника oab. как найти площадь треугоника?

ответ: 8 (ед.кв.)

Объяснение: по формуле Герона на самом деле не так сложно, как кажется... иррациональные множители постоянно "попадают" в формулу разность квадратов...

полупериметр =(V17+V41+4)/2

(напишу квадрат площади, т.к. с телефона нет возможности ввести формулы)

S^2=(V17+V41+4)*0.5*(V41+4-V17)*0.5*(V17+4-V41)*0.5*(V17+V41-4)*0.5 =

= (0.5)^4*((V41+4)^2-17)*(17+V(17*41)-4V17 + 4V17+4V41-16 - V(17*41)-41+4V41 =

= (0.5)^4*(41+8V41+16-17)*(8V41-40) =

= (0.5)^4*8^2*(V41-5)*(V41+5) =

= (64/16)*(41-25) = 4*16

S = 2*4 = 8

а если нарисовать треугольник на плоскости в системе координат, то очевидно, что сторона треугольника АВ=4, высота к этой стороне =4, площадь равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне = 4*4/2 = 8

8

Объяснение: Длины сторон

sqrt(17) , sqrt(41), 4  (корень квадратный из суммы квадратов разностей координат). И дальше по формуле Герона.

А можно как в начальной школе по клеточкам.

Взять еще точку  С(5,0).  Площадь ОВД равна 4*5/2=10

Площадь ОВС=1*4/2

Искомая площадь 10-2=8

ответ : 8. Интересно получить то же по формуле Герона.

Примечание : есть еще формула

S=|(х1-х3)*(у2-у3)-(х2-х3)*(у1-у3)|/2

Легко видеть, что по этой формуле ответ тот же.

Найди площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию с основаниями длиной 6 см и 12 см и периметром 36 см

Объяснение:

АВСМ- описанная трапеция⇒ суммы длин противоположных сторон равны. Т.е 6+12=АВ+СМ⇒ АВ=СМ=9 см.   Пусть ВК⊥АМ , СР⊥АМ.

S(круга)=πr².  Радиус вписанной в трапецию окружности будет равен половине высоты трапеции.

Т.к. ВК⊥АМ , СР⊥АМ, то КВСР-прямоугольник ⇒

КР=6 см, АК=РМ=(12-6) :2=3 (см).

ΔАВК-прямоугольный, по т. Пифагора :

ВК=√(9²-3²)=√((9-3)(9+3))=√(6*12)=6√2(см).

ВК-высота трапеции, значит r=3√2 см.

S(круга)= π (3√2 )²=18π (см²).

Подробнее - на -

1. Найти угол между векторами AС и АB.

*Можно искать не косинус угла, а найти длину вектора BC, тогда ΔABC -- равносторонний и углы равны по 60°.

2. Найти координаты центра сферы и длину ее радиуса. Найти значение m.

Приведём уравнение к общему виду (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²:

Тогда O (x₀; y₀; z₀) -- центр сферы, O (0; 1; -2),

R² = 16  ⇒  R = 4

Если точка принадлежит сфере, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство. Подставим точки A и B в уравнение сферы:

3. Найти уравнение плоскости α.

Ax + By + Cy + D = 0 -- общее уравнение плоскости.

n = (A; B; C) -- вектор нормали  ⇒ A = 1, B = 2, C = 3, тогда

Если точка принадлежит плоскости, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство:

4. Найти общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой представляет собой систему уравнений двух пересекающихся плоскостей. Решение этой системы есть пересечение плоскостей, то есть прямая.

Зададим прямую параметрически:

Исключим параметр λ:

Последняя система -- это общее уравнение прямой.