Впрямоугольном треугольнике abc угол с=90, cd-высота треугольника, ас=5, св=10 см.найдите отношения площадей треугольников acd и cdb.

В треугольнике ACD:
<A=<ACD=45
AD=DC
по теореме Пифагора:
x^2+x^2=25
2x^2=25
x^2=12.5
x=корень из 12.5
S= (корень из 12,5)^/2=6.25

в треугольнике CDB:
<B=<DCB=45
DB=DC
по теореме x^2+x^2=100
2x^2=100
x^2=50
x=корень из 50
S= (корень из 50)^2 /2=25

отношение площадей  6,25 /25 = 1/4

Пусть СР=х, тогда АР=4-х.
Пусть СК=у, тогда ВК=6-у.
Из прямоугольных треугольников квадрат катета ВР можно найти двумя сразу их объединим:
ВС²-СР²=АВ²-АР²,
6²-х²=5²-(4-х)²,
36-х²=25-16+8х-х²,
х=27/8.
Аналогично из прямоугольных тр-ков АСК и АВК:
АС²-СК²=АВ²-ВК²,
4²-у²=5²-(6-у)²,
16-у²=25-36+12у-у²,
у=27/12.
В тр-ке АВС cosC=(АС²+ВС²-АВ²)/(2АС·ВС)=(16+36-25)/(2·4·6)=27/48.
В тр-ке CPK по теореме косинусов РК²=СР²+СК²-2СР·СК·cosC.
РК²=(27/8)²+(27/12)²-2·27·27·27/(8·12·48)=(729/64)+(729/144)-(27³/48²)=(729/64)+(324/64)-(19683/2304)=(1053/64)-(19683/2304)=2025/256.
РК=45/16=2.8125 - это ответ.

14) Найдите  | 2а-в| , если | а|=3, | в|=4, а*в=4.

15) Длины векторов а и в равны 3 и 4 соответственно . Чему может равняться   | 2а-в| : 0; 6 ; 1; 11 ?

22) Укажите уравнение прямой , чтобы точки А(а;-1) ,В(1-а ;2а+1) ,С(а+1;-3) лежали на одной прямой?

Объяснение:

14)

а*в=| а|*| в|*cos(∠а,в), значит 4=3*4*cos(∠а,в), или cos(∠а,в)=1/3

Тогда длину | 2а-в| можно найти по т. косинусов , т.к ∠(а,в)=∠(2а,в) , см. на чертеже.

| 2а-в| = | КР| ,   | 2а| = | ОК| ,  | в| = | ОР|

КР²=ОК²+ОР²-2*ОК*ОР*cos∠(2а,в) ,

КР²=6²+4²-2*6*4*1/3 ,

КР²=52-16 ,   КР²=36 ,   ⇒КР=6  ,| 2а-в| =6 .

15) доделаю

16) Условие при котором три точки А(х₁;у₁) , В(х₂;у₂) , С(х₃;у₃)   лежат на одной прямой :(у₃-у₁):(у₂-у₁)=(х₃-х₁):(х₂-х₁).

Подставляем координаты А(а;-1) ,В(1-а ;2а+1) ,С(а+1;-3) :

(-3+1):(2а+1+1)=(а+1-а):(1-а-а) или  -2:(2а+2)=1:(1-2а)  или   2а+2=-2+4а или а=2. Тогда А(2;-1) ,В(-1 ;5)

Уравнение( каноническое) прямой проходящей через А(х₁;у₁) , В(х₂;у₂)  : (х-х₁):(х₂-х₁)=(у-у₁):(у₂-у₁).

Подставим  (х-2):(-1-2)=(у+1):(5+1) , получим 2(х-2)=-1(у+1) или

у=3-2х или у=-2х+3