Прямая, параллельная основаниям mp и nk трапеции mnkp, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны mn и kp в точках a и b соответственно. найдите длину отрезка ab , еслиnk=24 см, mp=40 см.

Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2ху/(х+у) , где х и у — основания трапеции. (Формула Буракова
откуда 2*40*24/40+24=30 
вроде бы)

M, N, L и K середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Отрезок соединяющий середины двух сторон в треугольнике является средней линией, которая параллельна третьей стороне.

MN, NL, LK и KM среднии линии в ΔABC, ΔBCD, ΔCDA и ΔDAB соответственно. Значит MN║AC; NL║BD; LK║CA=AC; KM║DB=BD.

MN║AC║LK ⇒ MN║LK - по транзитивности параллельных прямых а пространстве.

Так же NL║KM (NL║BD║KM).

В четырёхугольнике MNLK противоположные стороны параллельны (MN║LK и NL║KM), то есть это параллелограмм. А точки M, N, L и K его вершины. Доказано.

Пусть меньшее основание x, тогда большее основание 8x, средняя линия 9x/2. по условию она равна 18 см, поэтому x=4, другое основание равно 32 см, их разность 28 см. Один из углов=135, значит другой из углов при той же боковой стороне равен 180-135=45 градусов. Опустим из вершины угла 135 градусов высоту. Она разобьет трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, а значит этот треугольник равнобедренный, и разность оснований трапеции равна высоте. Отсюда площадь трапеции равна 18*28 квадратных сантиметров.