Найдите больший угол треугольника, углы которого относятся как 3, 5, 7
Ответы
Все углы составляют 15 частей (5+7+3), и сумма всех углов равна 180 градусов. 180/15=12 градусов 1 часть. Больший угол составляет 7 частей, следовательно он равен 7*12=84 градуса
Известно, что отрезок высоты от вершины до ортоцентра (то есть до точки пересечения высот) в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны.
В нашем случае, если из центра O описанной окружности опустить перпендикуляр OD на AC, то OD=OB/2=1/2.
Далее, ∠C_1HA_1=∠AHC=105° как вертикальные, а поскольку
∠BC_1H=∠BA_1H=90°⇒
∠C_1BA_1=360°-90°-90°-105°=75°. Поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника ABC окружность, а угол AOC - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠AOC=2·75=150°,
а ∠AOD=(1/2)AOC=75°.
Наконец, ΔAOD прямоугольный, AO гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒OD/R=cos 75°⇒
R=OD/(cos 45°+30°)=(1/2)/(cos 45°cos 30°- sin 45° sin 30°)=
1/((√6-√2)/2)=2(√6+√2)/(6-2)=(√6+√2)/2
Факт, приведенный в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. Присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт
В нашем случае, если из центра O описанной окружности опустить перпендикуляр OD на AC, то OD=OB/2=1/2.
Далее, ∠C_1HA_1=∠AHC=105° как вертикальные, а поскольку
∠BC_1H=∠BA_1H=90°⇒
∠C_1BA_1=360°-90°-90°-105°=75°. Поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника ABC окружность, а угол AOC - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠AOC=2·75=150°,
а ∠AOD=(1/2)AOC=75°.
Наконец, ΔAOD прямоугольный, AO гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒OD/R=cos 75°⇒
R=OD/(cos 45°+30°)=(1/2)/(cos 45°cos 30°- sin 45° sin 30°)=
1/((√6-√2)/2)=2(√6+√2)/(6-2)=(√6+√2)/2
Факт, приведенный в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. Присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт
На основе задания делаем вывод: треугольник КОМ - прямоугольный с соотношением катетов 2:1.
Обозначим КО = 2х. а МО = х.
Тогда по Пифагору 40² = х²+(2х)².
5х² = 1600,
х² = 1600/5 = 320,
х = √320 = 8√5.
Точка О делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
Находим МО = 8√5, КО = 2*8√5 = 16√5.
Отрезок ОК1 по свойству медианы равен 1/2 КО и равен 8√5.
То есть, треугольник МОК1 - прямоугольный равнобедренный.
МК1 = К1N = x√2 = 8√5*√2 = 8√10, а сторона MN = 2*8√10 = 16√10.
Последнюю неизвестную сторону находим по теореме синусов.
Находим угол MКO.
tg<MKO = x/2x = 1/2.
<MKO = arc tg(1/2) = 0,463648 радиан = 26,56505°.
Находим угол ОКМ1. OM1 = (1/2)MO = 8√5/2 = 4√5.
tg<ОКМ1 = ОМ1/OK = 4√5/16√5 = 1/4.
<ОКМ1 = arc tg(1/4) = 0,244979 радиан = 14,03624°.
Угол К равен сумме МКО и ОКМ1:
<К = 26,56505° + 14.03624° = 40,60129°.
Находим угол N.
sin N/40 = sin K/(16√10),
sin N = 40*sin K/16√10 = 40* 0,650791/16√10 = 0,514496.
Угол N = arc sin 0,514496 = 0,54042 радиан = 30,96376°.
Угол В = 180°-<K-<N = 180°- 40,60129° - 30,96376° = 108,4349°.
KN = sin M*40/sin N = 0,948683*40/0,514496 = 73,75636.
Периметр треугольника равен 164,3528026.
Обозначим КО = 2х. а МО = х.
Тогда по Пифагору 40² = х²+(2х)².
5х² = 1600,
х² = 1600/5 = 320,
х = √320 = 8√5.
Точка О делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
Находим МО = 8√5, КО = 2*8√5 = 16√5.
Отрезок ОК1 по свойству медианы равен 1/2 КО и равен 8√5.
То есть, треугольник МОК1 - прямоугольный равнобедренный.
МК1 = К1N = x√2 = 8√5*√2 = 8√10, а сторона MN = 2*8√10 = 16√10.
Последнюю неизвестную сторону находим по теореме синусов.
Находим угол MКO.
tg<MKO = x/2x = 1/2.
<MKO = arc tg(1/2) = 0,463648 радиан = 26,56505°.
Находим угол ОКМ1. OM1 = (1/2)MO = 8√5/2 = 4√5.
tg<ОКМ1 = ОМ1/OK = 4√5/16√5 = 1/4.
<ОКМ1 = arc tg(1/4) = 0,244979 радиан = 14,03624°.
Угол К равен сумме МКО и ОКМ1:
<К = 26,56505° + 14.03624° = 40,60129°.
Находим угол N.
sin N/40 = sin K/(16√10),
sin N = 40*sin K/16√10 = 40* 0,650791/16√10 = 0,514496.
Угол N = arc sin 0,514496 = 0,54042 радиан = 30,96376°.
Угол В = 180°-<K-<N = 180°- 40,60129° - 30,96376° = 108,4349°.
KN = sin M*40/sin N = 0,948683*40/0,514496 = 73,75636.
Периметр треугольника равен 164,3528026.
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос: