На поверхности шара радиуса r дано 2 точки , расстояние между которыми равно радиусу шара. найдите самое короткое расстояние между этими точками по поверхности шара.

Решение во вложении------------------------

Докажите, что: 

а)

 середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

В прямоугольнике все углы прямые, противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть данный прямоугольник АВСD, точки К, М, Н, Т - соответственно середины АВ, ВС, СD, DА. 

Соединим  последовательно точки К, М, Н и Т

Треугольники КАТ, КВМ, МСН  и НDТ прямоугольные, в каждом один катет равен половине меньшей стороны, другой - половине большей стороны. Следовательно, эти треугольники равны, отсюда равны их гипотенузы: КМ=МН=НТ=ТК. 

КМНТ - четырехугольник, все стороны которого равны (признак ромба).

Кроме того,  диагонали  КН║ВС и МТ║АВ. 

В прямоугольнике стороны пересекаются под прямым углом, следовательно, параллельные им диагонали КН и МТ тоже пересекаются под прямым углом - признак ромба. 

Четырехугольник КМНТ - ромб, и его вершинами являются середины сторон прямоугольника, что и требовалось доказать.  

------------------

  б) 

 середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.         

Пусть дан ромб АВСD, точки КМНТ - середины его сторон. Соединим их последовательно. 

Диагонали ромба АС и ВD пересекаются в точке О под прямым углом и  каждая делит ромб на два равных треугольника.   АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD и DТ=ТА.  ⇒

 КМ и ТН -   средние линии треугольников  АВС и СDТ и параллельны диагонали АС ромба. 

КМ=ТН

Аналогично ТК и МН - средние линии треугольников АВД и СВD и параллельны диагонали ВD ромба. 

КТ=МН. 

Стороны четырехугольника ТКМН параллельны и равны - КМНТ - параллелограмм. 

Диагонали ромба точкой их пересечения делятся пополам и, пересекаясь,  делят четырехугольник ТКМН на 4 равных параллелограмма, углы которых при точке пересечения диагоналей ромба О прямые. ⇒

Углы  К, М, Н и Т этих четырех параллелограммов, противоположны углам при О и по свойству углов параллелограмма равны им. Следовательно, четырехугольник ТКМН - параллелограмм, все гулы которого - прямые. 

ТКМН - прямоугольник, что и требовалось доказать. 

1) 160 см кв   2) 208 см кв   3) 460 см кв

Объяснение:

а) Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей его двух оснований плюс площадь боковой поверхности.

б) Во всех 3-х задачах будем считать, что первые два размера являются размерами основания, а третий размер - высотой.

Задача 1.

1) Площади двух оснований:

2 * (2*5) = 20 см. кв

2) Площадь боковой поверхности - это произведения периметра основания на высоту:

(2*2 + 5*2) * 10 = 14 * 10 = 140 см кв

3) Площадь полной поверхности:

20 + 140 = 160 см кв

ответ: 160 см кв

Задача 2.

1) Площади двух оснований:

2 * (4*6) = 48 см. кв

2) Площадь боковой поверхности - это произведения периметра основания на высоту:

(4*2 + 6*2) * 8 = 20 * 8 = 160 см кв

3) Площадь полной поверхности:

48 + 160 = 208 см кв

ответ: 208 см кв.

Задача 3.

1) Площади двух оснований:

2 * (10*12) = 240 см. кв

2) Площадь боковой поверхности - это произведения периметра основания на высоту:

(10*2 + 12*2) * 5 = 44 * 5 = 220 см кв

3) Площадь полной поверхности:

240 + 220 = 460 см кв

ответ: 460 см кв.