Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює α, а діагональний переріз - рівносторонній трикутник. знайдіть об'єм піраміди

Площа основи Sосн= a²
Діагональ основи d=а√2
 Оскільки діагональний  переріз - правильний трикутник, то висота h=d√3/2=a√6/2
Об'єм V=1/3Sосн·h=1/3а²·а√6/2=√6/6а³

 Основания этой пирамиды - правильные треугольники и лежат в параллельных плоскостях. 

Центры оснований О и Н - центры описанных около них окружностей, т.к. являются точками пересечения срединных перпендикуляров. 

Радиус описанной окружности правильного треугольника R=a/√3 ⇒

А1О=3:√3=√3 дм

AH=12:√3=4√3 дм

Опустим из вершины А1 перпендикуляр А1К на нижнее основание. А1К=ОН ( высоте пирамиды, т.к. расстояние между параллельными плоскостями одинаково в любой  точке). 

АК=АН-А1О=4√3-√3=3√3

По т.Пифагора

A1К=√(АА1²-АК²)=√(36-27)=3.

Высота ОН=А1К=3 

В 1) задаче смотри рисунок...проводим две высоты к большому основанию они отсекут два отрезка (эти отрезки маленькие называются полуразность оснований) то есть они равны каждый (49-15)/2=34/2=17
видим что в маленьких треугольниках один угол 60 градусов второй 90 значит третий=180-90-60=30  напротив этого угла как раз и лежит катет=17 значит боковая сторона (гипотенуза)=17*2=34
периметр=2*34+15+49=68+64=132

2) обозначим основания как 2х и 3х тогда
(2х+3х)/2=5
5х=10
х=2
2*2=4 меньшее основание
3*2=6 большее