На стороне bc треугольника abc взята точка m так что bm: mc=2: 3, а на стороне ac взята точка k так, что ak: kc=1: 4. в каком отношении прямая bk делит отрезок am? в каком отношении прямая am делит отрезок bk?

Решение во вложенном файле.

треугольник, а треугольник - описанным около этой окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность и при этом только одну.

Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.

Описанная окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник - вписанным в эту окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность и при этом только одну.

Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

1)

AB == BC == CD.

Проведём через вершины B & C — радиусы: BO == CO = r.

AO == OD = AD/2 = r (половина диаметра равна радиусу окружности).

Наши треугольники таковы: ΔAOB; ΔBOC; ΔCOD.

Учитывая информацию, данную нам задачей, и новые отрезки — найденные нами, мы составим определения: (AO == OD == OC == BO); (AB == BC == CD).

И так как каждый треугольник — имеет одну пару равных друг другу сторон (каждые 2 стороны в каждом треугольнике — радиусы), и равные основания (AB == BC ==CD), то по третъему признаку равенства треугольников: ΔAOB == ΔBOC == ΔCOD.

Что и означает, что: <AOB == <BOC == <COD ⇒ <COD == <BOC = 180/3 = 60°.

<BOD = <COD + <BOC =  60°+60° = 120°.

Вывод: <BOD = 120°.

2)

1.

Отрезки OA & OB — радиусы, так как каждый из них проведён с одной точки, находящийся на окружности, до её центра.

CO == OB = r.

<COB = 60° ⇒ <AOB = 180-60 = 120° (так как <AOB & <COB — смежные углы).

<AOB = 120°; OA == OB ⇒ <B == <AOB.

<AOB = (180° - <OAB)/2 = 30°.

AD — касательная, что и означает, что радиус, проведённый с точки касания до центра окружности — перпендикулярен этой касательной.

То есть: <OAD = 90°; <OAB = 30° ⇒ <DAB = 90-30 = 60°.

Вывод: <DAB = 60°.

2.

Проведём отрезки AO & OD.

AO == OD == CO == OB = r.

Эти треугольники равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

Тоесть:

Как мы видим — накрест лежащие углы равны: <C == <B.

А первый признак параллельности прямых таков: если накрест лежащие углы друг другу равны, то: a║b.

Тоесть: AB║CD.