Найти острые углы прямоугольного треугольника если один из них в 8 раз меньше другого.

Пусть один угол - х, тогда другой - 8х, составляем ур-е:
х+8х=90
9х=90
х=10
ответ: один угол 10°, второй 80°.

По условию АВ : AD : AA₁ = 1 : 1 : 2

Пусть х - коэффициент пропорциональности. Тогда

АВ = AD = x

АА₁ = 2х

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

DB₁² = AB² + AD² + AA₁²

x² + x² + (2x)² = (2√6)²

2x² + 4x² = 24

6x² = 24

x² = 4

x = 2           (x = - 2 не подходит по смыслу задачи)

АВ = 2, AD = 2, АА₁ = 4.

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. В₁D - наклонная, BD - ее проекция, тогда угол между В₁D и плоскостью АВС - ∠В₁DB.

ΔB₁BD:

sin∠B₁DB = BB₁ / B₁D = 4 / (2√6) = 2/√6 = √6/3

∠B₁DB = arcsin (√6/3)

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, = 180 градусов
А + В = 180
биссектрисы делят углы пополам...
А/2 + В/2 = 90 => треугольник АВК прямоугольный и угол АКВ = 90 градусов...
т.к. углы В и D равны, то треугольник АКD будет равнобедренным и 
AD=DK (угол АКD = 180-В-А/2 = А-А/2 = А/2 = KAD)))
аналогично окажется равнобедренным и треугольник ВСК
угол ВКС = 180-С-В/2 = 180-А-В/2 = В-В/2 = В/2 = CВК => ВС=СК
2*(АВ+ВС) = 45 = 2*(DC+BC) = 2*(DK+KC+BC) = 2*(AD+BC+BC) = 6*BC
BC = 45/6 = 7.5
AB = DC = DK+KC = AD+BC = 2*BC = 15
запишем разность периметров треугольников BCK и ADK:
BC+CK+KB - (AD+DK+KA) = 3
KB = 3+KA
по т.Пифагора AB^2 = AK^2 + BK^2
225 = AK^2 + (3+AK)^2 = 2*AK^2 + 6*AK + 9
AK^2 + 3*AK - 108 = 0
AK = 9
BK = 12