Решите : в равеобедренную трапецию вписана окружность площадь трапеции 125 хорда, проходящая над центром, и соединяющая боковые стороны трапеции равна 8 найдите площадь круга

Давай попробуем рассуждать логически, и одновременно рисовать чертёж. На чертеже изображаем равнобокую трапецию, вписанную в неё окружность, и хорду, соединяющую боковые стороны. Тут надо заметить два обстоятельства: 
1. Эта самая хорда (давай ндадим ей имя 西）параллельна основаниям. Именно она равна 8.
2. Хорда 西 соединяет точки касания окружностью боковых сторон.  

Проведём ещё на чертеже среднюю линию трапеции, она пройдёт точно через центр вписанной окружности (не буду подробно объяснять почему, сама обоснуй, если потребуется). Давай назовём её 中.

Итак, следи за руками: важный нюанс: данная по условию хорда 西 параллельна средней линии 中.

Радиус вписанной окружности обозначим банально буквой R.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной хорды 西, радиусом окружности, и куском высоты трапеции. Косинус угла между хордой и радиусом окажется, что можно записать как cos(a) = (西/2) / R = 西 / (2R). Хорошо.

Далее заметим (опять следи за руками), что этот же угол образуется между этим же радиусом, и средней линией 中, потому что хорда и средняя линия параллельны друг другу, и пересекаются общим радиусом. 

Замечательно. Выразим теперь длину средней линии через радиус и косинус угла. Получится:
1/2 中 = R / cos(a) = R * 2R / 西
домножим обе стороны уравнения на 2, и получим:
中 = 4R^2 / 西

Отлично. Приближаемся к цели. Теперь выразим площадь трапеции через её высоту и среднюю линию. Тут ещё надо заметить, что высота трапеции равна ровно два радиуса, видишь из чертежа?
S = (2R) * 中 = 2R * 4*R^2 / 西  = 8 * R^3 / 西. .
Подставим цифры:
125 = 8 * R^3 / 8
R^3 = 125
R = кубический корень (125) = 5

Ура! Мы нашли радиус вписанной окружности R, он равен 5.
Отсюда сразу записываем ответ: площадь круга s = пи * R^2 = 25*пи.

Это и есть ответ, как я думаю. Но проверь за мной, что не намухлевал.

A1.

Sшестиугольника =

ответ: 4

A2.

Правильный четырёхугольник - это квадрат. Так как он вписан в окружность, то диаметр окружности будет равен диагонали квадрата. Диагонали квадрата пересекаются в центре и делят его на 4 одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника с бок. сторонами = R ⇒ S квадрата равна площади четырех треугольников:

ответ: 1

A3.

Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, стороны которых равны a, а высоты равны радиусу R. Найдем, чему равны стороны через высоту (радиус):

Площадь одного треугольника будет равна:

Площадь шестиугольника:

ответ: 2

B1.

Пусть вписанный треугольник - ΔABC, сторона = ; описанный - ΔA₁B₁C₁, сторона -

Для ΔA₁B₁C₁ радиус высоты

⇒

⇒

Для ΔABC радиус R = высоты :

⇒

⇒

Найдем соотношение периметров и площадей:

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Даны точки A(-2; -3) и B(-1; -6). Найти множество точек C(x; y) плоскости таких, что S(ABC) = 11.

ответ:  (x₀ ; -3x₀ -31 ) , (x₀ ; -3x₀ +13 ) .

Объяснение:

0,5*AB*h =S   ;  AB =√( ( -1 -(-2))²+(-6 -(-3)² ) =√( 1²+(-3)² ) =√10

0,5*√10 *h =11 ⇒ h =11√10 / 5. (длина высоты пров. из вершины С)

Все точки  должны  удалены  от прямой AB на расстояния d=h .

Они  лежат на двух прямых  параллельных  AB.

Составим уравнение  AB :

y -(-3) =( (-6) -(-3) )/ (-1 -(-2) ) *(x -(-2)) ⇔   y+3 =-3(x +2) ⇔ 3x+y+9 =0.

d = |3x₀+y₀ +9| /√(3²+1) =11√10 / 5 ⇔ |3x₀+y₀+9| =22 .

а)  3x₀+y₀+9 = - 22  ⇒ y₀ = -3x₀ -31

б)  3x₀+y₀+9  =  22  ⇒ y₀ = -3x₀ +13