На стороне ас треугольника авс выбраны точки d и e так, что отрезки ad и ce равны. оказалось, углы aев и вdс тоже равны. докажите, что треугольник abc-равнобедренный

Тр-к ДВЕ равнобедренный по равным углам при основании, ДБ=ВЕ; углы ВДА И ВЕС равны, как смежные 2-м углам, равным по условию; АД=ЕС, отсюда тр-ки АВД и ВЕС равны по 2 сторонам и углу между ними, АВ=ВС; тр-к АВС равнобедренный - это ответ.

Обозначим точку пересечения этой прямой и стороны квадрата АВ как Т
АТ+ТВ = АВ
ТВ = R ---радиус окружности
выразим АТ через радиус...
из равнобедренного треугольника АОD, где AD = AB = AT+R
высота этого треугольника, проведенная к основанию, = АТ
из получившегося прямоугольного треугольника по т.Пифагора
(AD/2)^2 + AT^2 = R^2
AD^2 + 4AT^2 = 4R^2
(AT+R)^2 + 4AT^2 = 4R^2
AT^2 + 2AT*R + R^2 + 4AT^2 - 4R^2 = 0
5AT^2 + 2AT*R - 3R^2 = 0
D = (2R)^2 - 4*5*(-3R^2) = 4R^2 + 60R^2 = (8R)^2
AT = (-2R + 8R)/10
---отрицательный корень не рассматриваем (не имеет смысла...)
AT = 6R/10 = 3R/5
искомое отношение: AT/TB = (3R/5) / R = 3/5

Образующая цилиндра (=высоте цилиндра H) --- общая сторона двух прямоугольников-сечений цилиндра
в плоскости основания --- вписанный в окружность прямой угол, катетами которого являются вторые стороны этих прямоугольников (a и b) 
S1сеч. = aH = 16
S2сеч. = bH = 30
в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза равна диаметру окружности...
(2R)^2 = a^2 + b^2 ---теорема Пифагора...
4R^2 = 16^2 / H^2 + 30^2 / H^2
R^2 = (16^2+30^2) / (4H^2)
R = V(8^2+15^2) / H
Sбок.цилиндра = 2pi*R*H 
Sбок.цилиндра = 2pi*V(64+225) = 34pi