Висота прямокутного трикутника 24 см і ділить гіпотенузу у відношенні 9 до 16. знайти катети.

Высота есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы: 24^2=9x*16x, 24*24=3*3*4*4x^2,после сокращения x^2=4, x=2(-2 - побочный корень), отрезки гипотенузы 18 и 32 см; треугольник с катетами 24 и 16 египетский, его гипотенуза=30см; большой треугольник и 2 маленьких подобные и все египетские, гипотенуза большого=18+32=50, катет 30, значит второй 40см; ответ: 30 и 40 см.

1)Полусумма диагоналей равна 70/2= 35/см/,  половина одной диагонали пусть х, тогда половина другой  (35-х), по теореме Пифагора  х²+(35-х)²=25²

х²+1225-70х+х²-625=0

2х²-70х+600=0; х²-35х+300=0, откуда по теореме, обратной теореме Виета, х₁=15, х₂=20

Значит, если одна половина 15, то другая 20, и наоборот, если одна 20, то другая 15

Диагонали, стало быть, равны 40см и 30 см. Площадь ромба равна

40*30/2=600/см²/

2) Меньшая бок. сторона - она же и высота трапеции, чтобы найти среднюю линию, достаточно найти другую бок. сторону - большую, а потом их полусумму, поскольку сумма боковых сторон равна сумме оснований, т.к. в эту трапецию можно вписать окружность. Опустим из вершины тупого угла на нижнее большее основание высоту, получим прямоугольный  треугольник, с углом в 60°, против него лежит катет 8√3см,

Значит, гипотенуза, она же и большая бок. сторона, равна 8√3/sin60°=8√3/(√3/2)=16/cм/, значит, полусумма оснований равна

(8√3+16)/2=(4√3+8)/см/, высота трапеции равна 8√3см, площадь

8√3*(4√3+8)=(32*3+64√3)=(96+64√3)/см²/

1) Диаметр описанной окружности равен 12 см, следовательно диагональ квадрата равна АВ=12 см.

Треуг АВС - прямоуг. и равнобедр. По т. Пифагора:

АВ²=2АС² => AC=AB/√2=12/√2

В треуг. АВС: ОМ - сред. лин. (АО=ОВ как радиусы опис. окр., АМ=МС, тк. ОМ - радиус впис. окр.). Значит ОМ = 1/2*ВС = 6/√2 - радиус опис. окр

Длина впис окр = 6П√2

2) Длина окружности l=2ПR

l=8П (по условию)

2ПR=8П |:2П

R=4 (см)

Диагональ квадрата d=2*4=8(см)

Диагональ квадрата по формуле равна а*sqrt{2}, где а-сторона квадрата, отсюда

а=d/sqrt{2}=8/sqrt{2}=8sqrt{2}/2=4sqrt{2}

Периметр квадрата Р=4*а=4*4sqrt{2}=16sqrt{2}