Вправильной треугольной пирамиде sabc с основанием abc сторона основания равна 8 угол asb= 36 градусов. на ребре sc взята точка m так что am - биссектриса угла sac. найдите площадь сечения пирамиды amb

удивительно хитрое условие: )

сечение амв - это равносторонний треугольник со стороной 8. его площадь 16*корень(3).

 

пояснения совсем не касаются стереометрии, а касаются удивительных свойств равнобедренного треугольника с углом при вершине 36 градусов. оба угла при основании 72 градуса. поэтому биссектриса угла при основании делит треугольник на два равнобедренных, и отсюда получается, что биссектриса угла при основании равна основанию (кроме того, она равна и отрезку боковой стороны от вершины до пересечения с ней биссектрисы).

(если все это трудно идет : ), то в обозначениях легко увидеть, что

угол sac = угол sca = (180 - 36)/2 = 72 градуса,

угол sam = 72/2 = 36 градусов, и поэтому am = sm (так понятно? ) далее

угол амс = угол sam + угол asm = 36 + 36 = 72 градуса = угол mca, откуда ам = ас.)

именно отсюда я и получил, что ам = ас =8; не сложно отсюда же обосновать, что вм - биссектриса угла sbm треугольника sbm, который в точности такой же как треугольник sac. поэтому и bm =8.

это все. 

 

именно такой треугольник используется для вычисления в радикалах тригонометрических функций углов, кратных 18 градусам.

Биссектриса острого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. am - биссектриса, обозначим вм= 8х мс= 12х, тогда отношение 8х: 12х=8: 12  равно отношению сторон. но 8х+12х=15 20х=15 х=15: 20 х=3/4 вм=8х=8·(3/4)=6 мс=12х=12·(3/4)=9 по теореме косинусов из треугольника авс ас²=ав²+вс²-2·ав·вс·сos( ∠ b) 12²=8²+15²-2·8·15·сos( ∠ b) 144=64+225- 240·cos( ∠ b) cos( ∠ b) =(64+225-144)/240=145/240=29/120 из треугольника авм по теореме косинусов: ам²=ав²+вм²-2·ав·вм·сos( ∠ b) am²=8²+6²-2·8·6·(29/120)=64+36-23,2=76,8 ам=16√0,3

вариант решения. 

формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

sn=[2a1+(n-1)•d]•n: 2, где n- число членов арифметической прогрессии, а1 - её первый член. d -разность арифметической прогрессии, s- сумма

примем d=1. тогда

24=(2a1+2)•3: 2 ⇒

откуда а1=7, а2=8, а3=9

или немного проще:  

среднее арифметическое сторон этого треугольника 24: 3=8.

если d=1

то а=8-1=7, b=8, c=8+1=9

получаем стороны треугольника 7, 8, 9 и их сумма равна  данному в условии периметру  24. красиво. 

но по т.пифагора с²=а²+b² 

81≠49+64 ⇒ треугольник с такими сторонами не прямоугольный. 

если d=2, то а=6, b=8. с=10. это сочетание сторон можно и не проверять, они составят так называемый "египетский" прямоугольный треугольник с отношением сторон 3: 4: 5. 

формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник 

r=(a+b-c): 2 ⇒

r=(6+8-10): 2=2 см