Окружность с центром о описана около прямоугольного треугольника. докажите, что точка о- середина гипотенузы.

Тр-ник АВС-прямоугольный
∠С=90град, но он вписанный, тогда дуга, на которую он опирается =180град Гипотенуза содержит центр окружности и являтся диаметром. ОВ=ОА=R, О-середина гипотенузы

Проведем LЕ||ВСAL=ВL=СЕ=ЕDСL=DL как диагонали равных прямоугольников.
∠СLЕ=∠DLЕ∠ВСL=∠СLE=∠DLЕ 
ВМ=СМ, АВ=СD 
Прямоугольные треугольнике АВМ и СDМ равны 
∠ВМА=∠СМD 
Угол СМК=∠МКL как накрестлежащие при параллельных прямых ВС и LЕ и секущей МК  
Из равенства ∠ВМА=∠СМD следует ∠МКL=∠ВМР 
∠ВМР - внешний угол при вершине М треугольника РМС и равен сумме углов ∆ МРС, не смежных с ним. 
∠МКL - внешний угол при вершине К треугольника LКD и равен сумме углов ∆ КDL, не смежных с ним. 
Т.к. углы МСР и КLD этих треугольников равны, то ∠ КDL=∠ СРМ=30º 
Угол МDL- это угол КDL, угол МDL=30º
---------
Вариант решения. 
Проведем АЕ || LС 
СЕ=АL=ЕD  
АЕ=LD 
Угол МАЕ=МРС как соответственные при параллельных прямых и секущей. 
Проведем прямую из М через к середине АD. АК=КD как половины равных АЕ и LD 
В треугольниках АМК и МDК по 3 равных стороны:  АК=КD, АМ=DМ, МК - общая, следовательно, они равны третьему признаку равенства треугольников. Угол МАК=углу МDК. 
Но МАК=углу МРС, следовательно, угол МDК=30º, и МDL=30º

Ткс...) Решение: тебе дан ромб ,диагонали которого равны 16 и 30, если нарисовать его и подписать числа, то можно увидеть ,что диагонали пересекаются в точке О, которая в следствии  делит их пополам. Итак, 16:2=8; 30:2=15 и получаем катеты 15 и 8, а найти нужно гипотенузу
любимая теорема Пифагора(знаешь ведь?)
она гласит: квадрат  гипотенузы треугольника равен сумме квадратов катетов, С(сторона х= √ под корнем: 15 в квадрате + 8 в квадрате и это равно 225+64=289, а 289 это квадрат числа 17
ответ : сторона ромба равна 17) Удачи:)