Докажите, что стороны равностороннего треугольника касаются окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиусами, равными любой из его биссектрис ! с рисунком

В равностороннем треугольнике все его биссектрисы равны и являются еще и медианами и высотами. Рассмотрим рисунок. 

∆ АВС - равносторонний. 

ВН - биссектриса и высота ⇒ ВН⊥АС. 

ВН - радиус опружности с центром В по условию.

 ВН перпендикулярен прямой АС, отрезок ВН - кратчайшее расстояние от центра В до прямой АС. ⇒

 Н - единственная  общая точка окружности и АС, следовательно, сторона АС  ∆ АВС- касается  данной окружности.

Аналогично доказывается нужное в отношении других сторон. 

1. ∠К=х, тогда ∠L=2x, ∠M=2x+30°. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, х + 2х+ (2х+30)=180
5х=150
х=150/5
х=30
∠К=30°, ∠L = 60°, ∠M=90° ⇒ KL - большая сторона.

2. ∠DEC=180-120 = 60°
sin∠DEC= DC/ DE
√3/2 = 5/DE
DE=5/(√3/2) = 10/√3

3. Вопрос: как указана точка N?  Отрезки будут равны, если являются радиусами окружности с центром в т. N, а стороны треугольника являются касательными к этой окружности (перпендикуляра проведены в точки касания). В другом случае, эти перпендикуляры отсекают подобные треугольники (по двум углам), но не равные.

Давай попробуем рассуждать логически. Сейчас буду думать вслух, и одновременно нажимать на кнопки. Если мысль будет вилять, то не обессудь.

Попробуем решить треугольник АСО, который типа из соображений симметрии является равнобедренным. Интересует угол АСО. Гляну у себя на абаке, и он подскажет, что сей угол равен 36,87 градусов. Точнее, его косинус равен 0,5 * 24 / 15 = 0,8.

Продолжим СО до пересечения со стороной АВ, и точку пересечения назовём Х. Поскольку медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 (если не ошибаюсь, или поправь меня), то ХС = СО * 1,5 = 15 * 1,5 = 22,5. 

Теперь в треугольнике АСХ мы знаем стороны ХС = 22,5 и АС=24, и косинус угла между ними :  0,8 (угол = 36,87 градусов). Значит нам ничто не мешает найти по теореме косинусов третью сторону, то есть АХ. Решим на абаке, и он говорит, что АХ = 14,7732867.

Но мы же по условию имеем медианы, значит АВ = 2 * АХ = 29,546573.

Теперь, поскольку по условию L параллельна АВ, то старина Фалес по своей теореме подскажет, что L = 2/3 * АВ = 19,6977156.

Что-то такой ход мыслей мне самому не нравится. Слишком длинный путь. Но ответ всё-таки представляется верным.