Медианы af и bt треугольника abc пересекаются в точке o. отрезки bd и oe - высоты треугольника abc и aot соответственно. докажите, что bd=3oe

δеот подобен δдвт по трем углам

медианы δ пересекаясь в т.о делятся в соотношении 2: 1

во/от=2/1

из подобия δ

вд/ое=вт/от=(во+от)/от=3/1

вд=3ое

Прямая параллельная плоскости тогда и только тогда, когда прямая не пересекается с плоскостью и параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. прямая ad параллельна прямой bc, лежащей в плоскости bmc. осталось доказать, что прямая ad не пересекается с bmc, то есть, не имеет с этой плоскостью общих точек. очевидно, прямые ad и bc не имеют общих точек. плоскости abc и bmc пересекаются по прямой bc, то есть, все общие точки этих плоскостей лежат на вс. предположим, что ad пересекается с bmc в точке x, но тогда точка х лежит как в плоскости вмс, так и в плоскости авс, поскольку прямая ad целиком лежит в плоскости abc. значит, точка х - общая точка двух плоскостей, но тогда она лежит на прямой bc. получили противоречие с тем, что прямые ad и bc общих точек не имеют. значит, ad параллельна bmc.

Обозначим диагональ равнобокой трапеции за d (диагонали равны). тогда площадь можно выразить через диагонали и угол между ними - s=1/2*d²*sin(a), где sin(a) - синус угла между диагоналями. мы знаем, что  1/2*d²*sin(a)=1,  d²*sin(a)=2. значение d будет наименьшим в случае, если значение sina наибольшее. оно наибольшее, когда a=90 градусам, то есть, когда диагонали пересекаются под прямым углом. в этом случае sin(a)=1,  d²=2, d=√2. таким образом, наименьшее значение диагонали равнобокой  трапеции с площадью 1м² -  √2м.