Диагональ ас равнобедренной трапеции abcd перпендикулярна к боковой стороне cd, be перпендикулярна ас (е є ас), основания трапеции равны 10 см и 8 см. найти ае: ес.

Решение в приложении.

Проведём высоты BF и CG.
FG = BC = 8 см
Поскольку трапеция равнобедренная, AF = GD = (AD - FG)/2 = (10 - 8)/2 = 1 см.
AG = AD - AF = 10 - 1 = 9 см.
CG -- высота, опущенная на гипотенузу. Поэтому: CG² = AG·GD = 9·1 = 9 см².
CG = BF = 3 см
По теореме Пифагора: AC² = AG² + CG² = 9² + 3² = 90 см²
AC = √90 = 3√10 см
ΔACG ~ ΔCBE по двум углам, поэтому AC : BC = AG : EC.
3√10 : 8 = 9 : EC
EC = 72 / 3√10 = 24/√10 = 2,4√10 см
AE = AC - EC = 3√10 - 2,4√10 = 0,6√10 см
AE : EC = 0,6√10 : 2,4√10 = 1 : 4.

АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см

ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.

Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3  / (2√(5 - 4cos80°))

BB₁ = 3x = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) или


Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁  = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2

8) Объем конуса равен: V=1/3пR^2H. Из центра проведем отрезки к концам хорды. Получим равнобедренный треугольник,т.к. радиусы окружности равны,а значит отрезок соединяющий хорду с центром основания конуса является и высотой и медианой. От сюда следует,что данный отрезок делит полученный равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольников,а так же делит хорду попалам, и ее половина равна 4корень из2. Тогда по теореме Пифагора найдем радиус:R= V16+32= V48=4V3. Образующая радиус и высота конуса образуют прямоугольный треугольник. Из этого треугольника найдем высоту. Н=R*tg60=4V3*V3=12см. Теперь найдем объем: V=1/3*п*48*12=192п см^3