Втреугольнике abc проведена медиана bm известно что ab больше bc. сравните углы abm и cbm.

Треугольник abd тоже равнобедренный, ad = bd =12; (то есть у треугольника abd известны все три стороны ab = 18; ) с ходу в голову приходит воспользоваться теоремой косинусов, и тем, что углы adb и cdb - дополнительные. если (для максимальной краткости записи) обозначить 2*cos(ф) = z; где ф - это угол cdb; и dc = x; то 12^2 + 12^2 + 12*12*z = 18^2; 12^2 + x^2 - 12*x*z = 18^2; откуда конечно можно найти x = dc; дальше техника. вместо того, чтобы находить из первого уравнения z и подставлять во второе, можно заметить, что x^2 - 12*x*z = 12^2 + 12*12*z; или x^2 - 12^2 = 12*(x + 12)*z; 12*z = x - 12; если это подставить в первое уравнение, получится 12^2 + 12^2 + 12*(x - 12) = 18^2 = 12*27; 12 + 12 + x - 12 = 27; x = 15; все это хорошо, но есть совсем элементарное решение. очевидно, что треугольники abd и abc подобны - это равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при основаниях. треугольник abd подобен треугольнику (2,2,3) с коэффициентом 6, то есть (12,12,18); а треугольник abc имеет боковую сторону 18, то есть коэффицент подобия 9 с тем же треугольником (2,2,3) то есть его основание ac = 27; откуда dc = 15;

Биссектрисса делит угол на два равных угла по определению. перпендикуляр с биссектриссой делят треугольник на четыре части две из которых образуют два прямых треугольника с одной вершиной. достаточно доказать что эти два треугольника равны и будет доказано что их гипотенузы так же равны.но у них два одинаковых угла : первые образованы биссектрисой и по определению равны.вторые прямые ( по определению перпендикуляра)   и также равны между собой и равны 90 градусов.т.к. сумма углов в треугольнике равна 180 градусам ,то это значит и третьи углы в треугольниках равны. а следовательно и треугольники равны между собой.следовательно у них равные гипотенузы, как собственно и катеты.