Две окружности не пересекаются и расположены одна внутри другой. их диаметры относятся как 2: 5. диаметр большей окружности делится меньшей окружностью на три части, причем крайние равны 10 см и 5 см. найдите диаметры окружностей и расстояние между их центрами.

Диаметры окружностей равны D и d. d:D=2:5. D=d+10+5=d+15.
d:D=2:5 ⇒ D=5d/2.
5d/2=d+15,
5d=2d+30,
3d=30,
d=10 см - это ответ, 
D=5·10/2=25 см - это ответ.
Расстояние между их центрами: ((D-d)/2)-х=5, где (D-d)/2 - ширина кольца при совпадении центров окружностей, х- расстояние, на которое нужно сместить центр малой окружности, чтобы получить отрезок 5 см.
D-d=2(5+x),
25-10=10+2x,
2x=5,
x=2.5 см - это ответ.

Шаг 1. Поставить острие циркуля в вершину угла и на обоих лучах угла отложить равные отрезки (сделать засечки) . Шаг 2. Не меняя раствора циркуля поставить поочередно острие циркуля на засечки, сделанные в шаге 1, и провести дуги, так, чтобы они пересеклись. Шаг 3. Точку пересечения дуг соединить с вершиной угла. Это и будет биссектриса. Объяснение. Если соединить засечки, сделанные на шаге 1 с точкой пересечения дуг, то получится ромб. Диагональ ромба является биссектрисой его противоположных углов.

Доказательство

1) Возьмем произвольную точку M на биссектрисе угла BAC, проведем перпендикуляр MK и ML к прямым AB и AC

Рассмотрим прямоугольные треугольники AMK и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу. (AM - общая гипотенуза, ∠1∠2 по условию\). Следовательно, MKML

2) Пусть точка M лежит внутри угла BAC и равноудалена от его сторон AB и AC. Докажем, что луч AM - биссектриса угла BAC

Проведем перпендикуляры MK и ML к прямым AB и AC. Прямоугольные треугольники AMK и AML - равны по гипотенузе и катету (AM - общая гипотенуза, MKML по условию ). Следовательно, ∠1∠2. Но это и значит, что луч AM - биссектриса угла BAC. Теорема доказана