На высоте ah равнобедренного треугольника abc с прямым углом а взята точка о. докажите что треугольники aob и aoc равны

Треугольник АВС -равнобедренный и прямоугольный (по усл.). Равными могут быть только катеты АВ=АС (они же являются сторонами треугольников АОВ и АОС). Сторона АО у треугольников АОВ и АОС общая. Высота, проведенная из угла А будет также биссектрисой (теорема свойство высоты равнобедренного треугольника), то есть разделит угол А на два равных угла ВАО и ОАС. Следовательно треугольники будут равны по двум сторонам и углу между ними (АО-общая, АВ=АС, угол ВАО=углу ОАС)

B(4; 4)m = -4AB = √65

Объяснение:

Проведем от точки A перпендикулярный отрезок к оси Ox и назовем его AK. Аналогично сделаем и с точкой B - назовем отрезок BL.

Рассмотрим ΔOBL:

OB - гипотенуза

OL и BL - катеты

∠BOL = 45°

tg ∠BOL = (противолежащий катет) / (прилежащий катет) = BL/OL

tg 45° = 1

BL/OL = 1

BL = OL

Если посмотреть на рисунок, увидим, что:

OL = c (то есть координата x точки B)

BL = d (то есть координата y точки B)

Так как они равны, обозначим их - a.

В ΔOBL по теореме Пифагора:

OB² = OL² + BL²

OB² = a² + a²

OB = √2a² = a√2

OB = 4√2 (по условию)

a√2 = 4√2

a = 4

a = c = d = 4

Координаты точки B - (4 ; 4).

Теперь рассмотрим ΔAKO:

AO - гипотенуза

AK и OK - катеты

Если посмотрим на рисунок, увидим:

OK = m (то есть координата x точки A)

AK = 3 (то есть координата y точки A)

OA = 5 (по условию)

В ΔAKO по теореме Пифагора:

OA² = AK² + OK²

OK² = OA² - AK²

OK² = 5² - 3²

OK = √(25 - 9)

OK = √16

OK = 4

Но нужно не забыть, что точка A лежит во 2-й четверти, а значит значение x будет с минусом.

m = -4

A(3; -4)

B(4; 4)

По формуле расстояния можем узнать длину отрезка AB:

|AB| = √( (Xa - Xb)² + (Ya - Yb)² )

|AB| = √( (3 - 4)² + (-4 - 4)² )

|AB| = √( (-1)² + (-8)²

|AB| = √(1 + 64) = √65

AB = √65

1) КМ перпендикулярно ОК, МР перпендикулярно ОР (по св-ву касательных)
2) Проведем линию ОМ.
3) Рассмотрим треугольники КОМ и МОР (прямоугольные)
а) ОК=ОР (радиусы)
б) КМ=МР (по св-ву касательных)
Вывод: треугольники равны по двум катетам.
4) В равных треугольниках соответственные элементы равны, тогда угол КОМ = углу РОМ. угол РОМ = 70 градусов, тогда угол ОМР = 90 градусов - 70 градусов = 20 градусов.
5) Прямая ОМ - биссектриса угла КМР (по св-ву касательных)
угол ОМР = углу КМО = 20 градусов.
угол КМР = 20 градусов + 20 градусов = 40 градусов.
ответ: угол КМР = 40 градусов