Отрезок ак - биссектриса треугольника авс.на стороне ав обозначили точку м так, что ам = мк.довесты, что мк параллельная ас.

1)т. к. AK-биссектриса => угол KAM=углу KAC
2) т.к. AM=MK=> треугольник AMK-равнобедренный=> угол KAM=углу MKA
=>угол KAC= углу MKA( накрестлежащие при прямых MK и AC и секущей AK)=>MK параллельна AC

Нe задача конечно оригинальная :) Она даже  первое время вызвала у меня затруднения :)
1) Проведем серединный   перпендикуляр к стороне AB. 
Получим точку T в пересечении  с прямой a.
2) Треугольник ATB-равнобедренный тк NT  высота и медиана.
3) А  теперь внимание: Опишем около треугольника ATB окружность :)
(Это  точка пересечения серединных  перпендикуляров к сторонам)
Обозначим F-отличную от T точку пересечения окружности  с прямой a.
Так  в чем же собственно говоря все прелесть: Тк  хорды  AT=TB,то и дуги  AT и TB  равны. То есть вписанные  углы AFT и BFT  опираются на равные дуги. То  по сути эти  углы равны :)
То  FT  -биссектриса  AFB.
Построение завершено прощения  что заменил С на F  cуть от этого  не изменилась)
Замечание: 
Хочу сказать   что данная задача  не разрешима когда отрезок AB  перпендикулярен прямой A  и  не делится этой прямой пополам.
Тк если бы такая точка существовала,то вышло бы что  высота и биссектриса,то  треугольник  равнобедренный,то она и медиана.
НО данный отрезок не делится данной точкой пополам. Это в принципе и логично. Тк в этом и только в этом случае серединный перпендикуляр будет  параллелен  прямой a.
Если же  AB  перпендикулярна a и делится этой прямой пополам. То все точки на  прямой будут  удовлетворять условию задачи. Это особенный случай. Я не   мог его не упомянуть. Задание  интересное во всех отношениях :) 

Треугольники AOD и COB подобны. 
Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции.
Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E.
Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD).
Поскольку DBCE - параллелограмм, то AE = AD + DE = AD + BC; 
То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD;
Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы).
Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон.  
То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что
AD = k*√25; BC = k*√16; AD + BC = k*√S;
Отсюда  √S = √25 + √16 = 9; S = 81;