Длины сторон треугольника abc относятся как 5: 5: 6. точки m, p и n - середины сторон треугольника.площадь треугольника nmp равна 48. найти периметр треугольника abc.

МР=АС:2, MN=BC:2, PN=AB:2, МР, PN и MN- средние линии ∆ АВС. ⇒ 
∆ ВМР и ∆ АВС подобны ( легко докажете сами)
Коэффициент подобия   k=1/2
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. 
S1:S=k²=1/4
Тогда S∆ ABC=48*4=192
Пусть коэффициент отношения сторон ∆АВС будет а. 
Тогда АВ=ВС=5а, АС=6а
Опустим из В высоту на АС. В равнобедренном треугольнике высота еще и медиана и биссектриса, ⇒АN=CN=3a.
Найдем по т.Пифагора высоту:
BN=√(AB²-AN²)=√16a²=4a
По формуле площади треугольника 
S ∆ ABC=4a*6a:2=12a²
12a²=192
a²=16
a=√16=4
P=5а+5а+6а=16а
Р=16*4=64
-------
Можно площадь ∆ АВС найти несколько иначе: 
МР, PN и MN- средние линии ∆ АВС. Они делят ∆ АВС на 4 равных треугольника. : S ∆ ABC=48*4=192

1)  Используем два утверждения а) в окружность можно впмсать только такой четырехугольник, сумма противоположных углов которого =180 градусам;
б)Если ЦЕНТР описанной окружности лежит на стороне треугольника, ,то этот треугольник прямоугольный.
Из утверждения б) находим углы тр-каАДВ  180-90-32=58,   уголА=58гр.
Из утверждения а) находим  угол А+угол С=180гр. 180-58=122гр.,уголС=122гр

2)  Высота равнобедренного тр-ка делит его основание попалам,Центр окружности лежит на высоте.Значит высота Н состоит из радиуса и отрезка=8. Если найдем радиус то, сможем найти высоту и тогда площадь тр-ка. Соедини центр окружности  с одним углом основания вписанного треугольника . Образовался прямоугольный тр-к ,образованный кусочком высоты=8 см, половиной основания равнобедренного тр-ка =6 см и радиусом окружности =Х.  По теореме пифагора находим Х=V64+36=10. H= 8+10=18
 S=1/2 18*12=108

Сделаем доп построения: проедем высоту ВЕ из вершины В.
В нашей трапеции образовалось два треугольника: АВЕ и CDH (CH - высота из условия задачи, сами мы ввели только вершину Н для удобства);
рассмотрим эти два треугольника:
угол А=углу D, угол Е= углу Н=90 (т.к. ВЕ и СН - высоты) => угол АВЕ=углу DCH (сумма углов в треугольнике равна 180 градусов) => по двум углам и стороне между ними рассматриваемые треугольники равны => AE=DH=8;
Чтобы найти EH, нужно из АН вычесть DH, т.е. ЕН=15-8=7.
РАссмотрим чет-ник ВСНЕ:
в нем ВСII ЕН (т.к. они части осноания трапеции),ВС=ЕН;
все углы в нем по 90 градусов => 
т.о. ВС=ЕН=7 см