Найдите угол а, если ав - касательная.

Объяснение:

Дано:

AF и BD - прямые

AB = BС

∠АВС = 120°

АС - биссектриса ∠ВАЕ

∠CDE : ∠AED = 7 : 8

∠ DEF - ?

1) Сумма всех углов Δ = 180°:

∠ВАС + ∠В + ∠ВСА = 180° или

∠ВАС + ∠ВСА = 180° - 120° = 60°

2) ΔАВС - равнобедренный, т.к. АВ = ВС по условию.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит,

∠ВАС = ∠ВСА = 60° / 2 = 30°

3) АС - биссектриса ∠А по условию, следовательно,

∠ВАС = ∠ САЕ = 30°, а ∠ВАЕ = 2* 30° = 60°

4) ∠ВАЕ и ∠ АВС - односторонние углы, их сумма = 120° + 60° = 180°

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны, значит,

АЕ ║BD

5) ∠CDE и ∠AED - тоже углы односторонние, и так как АЕ ║BD, то

∠CDE + ∠AED = 180° или

7х + 8х = 180°   → х = 180°/15 = 12°

∠CDE = 7*12° = 84°

∠AED = 8 * 12 = 96°

6) ∠CDE = ∠DEF = 84°, так как они  накрест лежащие углы при параллельных прямых BD и AE/

Объяснение:

а) найдём величину вектора по формуле:

АВ=√((Ах-Вх)²+(Ау-Ву)²+(Аz-Bz)²=

=√((4-2)²+(0-5)²+(1-0)²)=√(2²+(-5)²+1²=

=√(4+25+1)=√30

AB=√30

Теперь найдём величину вектора АС по этой же формуле:

АС=((4-5)²+ (0-1)²+(1-3)²)=√((-1)²+(-1)²+(-2)²)=

=√(1+1+4)=√6

АС=√6

б) сначала найдём координаты вектора АВ по формуле:

АВ=(Вх-Ах; Ву-Ау; Вz-Az)=

=(2-4; 5-0; 0-1)=(-2; 5; -1)

AB(-2; 5; -1)

AC(5-4; 1-0; 3-1)=(1; 1; 2)

AC(1; 1; 2)

Теперь найдём их скалярное произведение по формуле:

АВ×АС=АВх×АСх+АВу×АСу+АВz×ACz=

-2×1+5×1+(-1)×2= -2+5-2=5-4=1

ОТВЕТ: 1

в) найдём угол между векторами по формуле:

(АВ×АС)/√((АВх²+АВу²+АВz²)(ACx²+ACy²+ACz²))= так как скалярное произведение мы наши в пункте "б", то мы запишем его значение сразу:

1/√((-2)²+5²+(-1)²)×(1²+1²+2²)=

=1/√((4+25+1)(1+1+2))=1/√(30×6)=1/√180=1/3√20

Мы нашли изначально длины векторов в пункте "а", АВ=√30; АС=√6, поэтому тоже можно их перемножить согласно этой формуле