Найти сумму всех внутренних углов правильного многоугольника, число диагоналей которого в 3 раза больше, чем число сторон.

N-число сторон
(n²-3n)2-число диагоналей
(n²-3n)/2=3n
n²-3n=6n
n²-9n=0
n(n-9)=0
n=0 не удов усл
n=9
180*(n-2)-сумма внутренних углов
180*(9-2)=180*7=1260

Выясним, о каком многоугольнике речь.
Из каждой вершины выпуклого n-угольника можно провести диагонали во все вершины , кроме 2-х смежных и самой себя, т.е. n-3 диагонали.
Однако, любая диагональ из А в С есть одновременно и диагональ из С в А. Поэтому, у выпуклого n-угольника число диагоналей d=n·(n-3)/2.
В то же время, по условиям задачи, у нашего многоугольника d=3n.
Решаем уравнение: 3n=n·(n-3)/2;  6n=n²-3n;  9n=n²; n=9
Таким образом, речь идет о 9-угольнике.
Поскольку правильный n-угольник можно представить, как n смыкающихся треугольников с общей вершиной, сумма всех внутренних углов правильного n-угольника равна n·180°-360°.
В данном случае, для 9-угольника: 9·180°-360°=1260°

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Опустим перпендикуляры AD и BC из концов отрезка АВ на линию пересечения данных нам взаимно перпендикулярных плоскостей.
Угол между прямой АВ и плоскостью b - это угол между прямыми АВ и AC.
В прямоугольном треугольнике АСB с прямым углом С (по теореме о трех перпендикулярах) катет ВС, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы АВ, то есть ВС=0,5*АВ или ВС=а/2.
Угол между прямой АВ и плоскостью с - это угол между прямыми АВ и DB.
В прямоугольном треугольнике АDB с прямым углом D острые углы равны по 45°, то есть AD=DB , следовательно катет 2DB²=a², отсюда DB=а√2/2.
В прямоугольном треугольнике DCB с прямым углом C по Пифагору имеем:
DC=√(DB²-BC²) или DC=√(2а²/4-а²/4)=а/2.
ответ: искомое расстояние равно а/2.
Угол между прямой АВ и плоскостью с - это угол между прямыми АВ и DB.
В прямоугольном треугольнике АDB с прямым углом D острые углы равны по 45°, то есть AD=DB , следовательно катет 2DB²=a², отсюда DB=а√2/2.
В прямоугольном треугольнике DCB с прямым углом C по Пифагору имеем:
DC=√(DB²-BC²) или DC=√(2а²/4-а²/4)=а/2.
ответ: искомое расстояние равно а/2.

#1. l-длина дуги, S- площадь сектора,- градусная мера сектора, R- радиус окружности
l=
Подставим известное и получим

Выразим R и получим


Подставим известное

Отсюда




ответ : 6 см, 60°.
#2. Дано: d впис= 10 см, a(сторона многоугольника) = 10√3
Найти: n(кол-во сторон), R опис
Решение: r(радиус впис окр)=0.5d=5см
Выразим радиус описанной окружности через сторону и через радиус вписанной окружности, а затем приравняем




Сокращаем на 10 и получаем

Тангенс, равный √3 имеет угол в 60°, а значит, , откуда n=3
Так как многоугольник- треугольник, то радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной., значит, R=2r=10см
ответ: 3 стороны, 10 см.