Cd общая хорда двух окружностей .хорда bd первой окружности лежит на касательной ко второй окружности, а хорда ac второй окружности лежит на касательной к первой.найдите cd, если bc=4, ad=d

Чтобы рисунок объяснить - надо хорошо потрудиться.
О и Q - центры двух окружностей.
OC=OD=R  и  QC=QD=r⇒
OQ - серединный перпендикуляр к отрезку СD.
OQ⊥ CD     и  СK=KD.

OD⊥BD   и  СQ⊥AC - по определению касательной.

Равные острые углы отмечены одинаковым цветом.
Один из них вписанный и измеряется половиной  дуги  CD в соответствующей окружности, второй центральный и измеряется дугой, на которую опирается.
∪СK=∪KD=(1/2)∪CD.
Третий угол в каждом треугольнике, это угол между касательной и хордой, он также равен половине соответствующей дуги.
Поэтому
∠КОD=∠CAD=∠KDB
и
∠CQK=∠BCD=∠ACD.
Треугольники ACD и BCD подобны по двум углам.
ВС:СD=CD:AD;
4:CD=CD:9;
CD²=4·9
CD=6
О т в е т. СD=6.

Воспользуемся следующими соотношениями в прямоугольных треугольниках:

Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

 ΔМАО=ΔМВО по катету (МА=МВ) и гипотенузе (МО- общая сторона)

 ΔМАК=ΔМВК (МК-общий катет, МА=МВ - гипотенузы)

Из ΔМАО находим МА: 

Из ΔМАК находим АК:

Если же такой ответ не годится и нужно выразить именно через α, то по формуле половинного аргумента получим:

 

Ну и как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!.. ;)))

Проведем касательные, образующие угол . В точки касания проведем радиусы из центра соответствующей окружности. Теперь проведем искомое расстояние между точками касания.

Рассмотрим четырехугольник, образованный касательными и радиусами.. Из него нам нужно найти  угол . Так как два угла этого четырехугольника равны 90, то находим выражение для b: b=180-a.

Далее рассмотрим треугольник, образованный двумя r и d. По теореме косинусов находим сначала квадрат d, а потом и само d (в процессе была использована формула приведения: cos(180-a)=-cos(a) )